Dossiers

La sphère est l’un des objets les plus élémentaires de la géométrie. Pour l’étudier, depuis Archimède, des trésors d’ingéniosité ont été déployés. La plus célèbre d’entre elles est celle que nous habitons, mais il a fallu des siècles pour se convaincre que la Terre est « ronde » ! Et les multiples tentatives de représentations cartographiques ont donné lieu à des développements mathématiques qui ont parfois réservé bien des surprises. Chaque projection du globe sur le plan génère son lot de déformations, de transformations des aires, de modifications des propriétés. Ainsi, la projection stéréographique conserve les angles, mais pas les distances. Comment choisir « la » bonne façon de visualiser cet objet ? Suivant les caractéristiques à conserver, divers types de transformations ont été imaginés. Et si l’on prenait le temps de revisiter les propriétés de la sphère ?

La statistique n’est ni une science du passé, ni une science de l’avenir : elle est bien ancrée dans le présent ! La diversité de ses applications témoigne de son importance dans le monde actuel. Un rapide tour d’horizon de sujets d’actualité vous en convaincra : démographie et financement des retraites, pouvoir d’achat, santé et fabrication de médicaments innovants, réseaux sociaux… Nombreux sont les défis auxquels ceux qui l’étudient sont aujourd’hui confrontés. Parmi eux, celui du secret statistique est crucial : comment traiter des données sensibles sans qu’elles soient divulguées ? C’est encore la statistique que l’on retrouve derrière les progrès de l’intelligence artificielle, par exemple le célèbre robot conversationnel Chat-GPT.

Lorsqu'un objet élastique peut, quand on le déforme de manière continue sans le déchirer, prendre la forme d'un autre objet, ils ont la même structure topologique : on dit qu'ils sont homéomorphes. Une sphère et un cube (tous les deux creux) sont homéomorphes, mais ils ne le sont pas avec un tore. La topologie apporte un complément fondamental à l'analyse et aux définitions de limite ou de continuité en introduisant de nouvelles notions comme la compacité. Bienvenue dans cette géométrie « pas comme les autres »…

La géométrie arabo-musulmane se fonde sur les traités grecs pour mieux les approfondir. C’est le cas des traités d’Euclide, dont certains ont été perdus dans l’original grec, mais qu’on parvient à reconstruire grâce aux commentateurs de langue arabe qui, de plus, nous offrent des travaux originaux comme des démonstrations très habiles du théorème de Pythagore. C’est également le cas concernant l’astronomie, longtemps considérée comme une science foncièrement géométrique. Plus étonnamment, cet approfondissement géométrique se retrouve aussi en algèbre où il est utilisé pour élaborer des méthodes générales de résolution. Ainsi, la géométrie s’inscrit-elle dans une tradition que les savants des pays d’Islam prolongent et affinent considérablement.

Le nombre d’or peut être défini simplement par l’équation du second degré dont il est l’une des racines. Mais ses multiples propriétés géométriques et arithmétiques en ont fait à certaines époques un objet mystique. Débusqué dans des constructions antiques ou dans notre environnement naturel, il a même, sous l’appellation de « divine proportion », été considéré comme le canon esthétique des œuvres d’art, voire, depuis les pythagoriciens, comme une preuve de l’harmonie du monde. Ce dossier se propose de le replacer dans un univers objectif en séparant les constructions mathématiques, ô combien astucieuses, qu’il a permises, des délires dont il a parfois fait l’objet.

La pensée scientifique permet de faire la différence entre opinion, croyance et science. Outil indispensable de tout citoyen, elle fait l'objet, à l'initiative d'Henri Broch dans les années 1980, d'un enseignement de méthodologie scientifique auprès des étudiants. Il l'a nommé zététique, reprenant ainsi un ancien vocable utilisé par des écrivains et philosophes depuis Viète. L'exploitation de cet esprit critique pour démonter les croyances au paranormal a contribué à faire connaître la zététique au grand-public. Les mathématiques, en particulier l'interprétation des statistiques et le fameux paradoxe de Yule-Simpson, y offrent des outils de raisonnement qui permettent de ne pas tomber dans l'obscurantisme intellectuel et de démontrer le caractère parfaitement naturel de certains phénomènes.

La notion mathématique de barycentre, issue de celle de centre de gravité en physique, n'a été introduite qu'au XIXe siècle. Ce système de points pondérés devient un concept indispensable en géométrie tant il mène à des merveilles. Sa fameuse loi d'associativité se retrouve dans de nombreuses astuces de démonstrations et permet, avec la notion de coordonnées barycentriques, de résoudre, indépendamment de la dimension de l'espace, de multiples problèmes, souvent sans calcul : alignement de points, concourance de droites, lieu géométrique d'un point du plan ou de l'espace... Né des lois d'équilibre de la physique, que l'on peut, par exemple, observer dans les mobiles de l'artiste Alexandre Calder, le barycentre connaît aujourd'hui un usage sans limite, de l'astronomie à l'équitation, des sciences de l'ingénieur au sport.

En modélisant la perception visuelle, les peintres de la Renaissance ont fait émerger une géométrie nouvelle pour représenter la profondeur. Rien ne semblait se conserver, sauf une étrange relation liant quatre points alignés, le birapport, qui pourtant, dès l'Antiquité, avait été pressenti par Ménélaüs et Pappus. Cet invariant, qui émerge de la concourance de quatre droites, permet des constructions géométriques et des démonstrations élégantes, même dans un cadre non euclidien. Il offre un regard différent sur le plan, en abolissant le règne des notions d'angle et de distance.

John Horton Conway, mathématicien de génie, est décédé à l'âge de 82 ans le 11 avril, à New Brunswick (New Jersey, États-Unis). À la fois créateur à l'imagination débordante dans de nombreux domaines – en particulier le jeu – et vulgarisateur hors pair, il incarnait le modèle idéal de mathématicien dont Tangente pouvait rêver. Par son talent, John Conway a fait avancer les mathématiques dans des domaines variés : groupes finis, théorie des nombres, géométrie et topologie géométrique, physique théorique, combinatoire et théorie des jeux. Mais c'est plus particulièrement le « jeu de la vie » qui l'a rendu célèbre, permettant à un large public de découvrir les mathématiques sous un jour nouveau, ludique et profond à la fois. Ce jeu a servi, entre autres, à la modélisation du développement d'une épidémie. Coïncidence tragique, ce sont des complications liées au coronavirus qui ont eu raison de son créateur.

En France, Martin Gardner est surtout connu pour ses récréations mathématiques écrites en tant que vulgarisateur. Lui qui, étrangement, n’étudia jamais les mathématiques à l’université, mais fut magicien, philosophe, écrivain et éditeur, laisse une œuvre bien plus vaste, issue de ses multiples centres d’intérêt. On lui découvre ainsi de nouveaux visages à travers son développement philosophique très original du scepticisme scientifique ou par le biais de son étonnante et foisonnante production littéraire qui fluctue de la science-fiction à la poésie en passant par des romans. Et l’on ne manquera pas de s’émerveiller en explorant ses tours de mathémagie.