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Quoique moins connu que son « grand frère », le Petit Théorème de Fermat est, lui aussi, un joyau de l'arithmétique, et combien plus utile ! Qu'un résultat mathématique abstrait trouve, trois cents ans après avoir été établi, des applications fondamentales, a de quoi surprendre ! C'est pourtant le cas, en particulier dans le domaine de l'échange d'information sur Internet. Ce petit bijou, mis à jour par le « magistral magistrat » Pierre de Fermat, fournit des algorithmes cryptographiques fondamentaux, dont le plus connu est RSA. Un bijou qui n'a pas fini de faire parler de lui : il reste encore des zones d'ombres et des conjectures à prouver !

C’est sans doute la plus fameuse constante de toutes les mathématiques après le 0 ou le 1. Le nombre π, dont l’histoire est plusieurs fois millénaire et continue de s’écrire de nos jours, exerce une fascination manifeste. Est-ce à cause de son omniprésence en géométrie et de son lien avec cette forme parfaite qu’est le cercle ? Ou parce que la suite infinie de ses décimales semble totalement aléatoire ? Ou encore à cause de l’abîme qui sépare la simplicité de sa définition de la difficulté que l’on a à établir ses propriétés ? Ce qui est certain, c’est que π continue à donner du travail aux scientifiques et à nous intriguer.

Dans sa version arithmétique, le théorème de Bézout est une véritable invitation à la découverte de problèmes « plaisants et délectables », que Bachet de Meziriac avait conçus et que Tangente continue à vous proposer. De nombreux résultats d'arithmétique élémentaire en découlent, et vous permettront d'exercer votre sagacité. Le théorème de Bézout se décline aussi avec les polynômes. Cette fois, il a des applications jusque dans le calcul intégral et joue en particulier un rôle pour étudier l'intersection de courbes algébriques.

Il fait partie du b.a.ba de l'analyse mathématique. Le théorème (ou lemme) de Rolle indique qu'une fonction dérivable qui prend deux valeurs égales possède au moins un « sommet » où sa dérivée est nulle. Mais qui était Michel Rolle ? Sait-on qu'il fut un farouche opposant au calcul différentiel ? Il s'ensuivit une mémorable querelle avec Pierre Varignon. Avec son extension le théorème des accroissements finis, le théorème de Rolle admet de multiples applications : en maths pures comme certaines méthodes de résolution d'équations, mais aussi dans divers domaines comme la finance pour effectuer certains calculs d'intérêts.

Le « triangle de Pascal » est un étrange tableau de nombres, imaginé bien avant le philosophe et mathématicien français : de l'Inde à la Chine en passant par le monde arabo-musulman, il a fasciné des générations de scientifiques. Reconnaissons au savant français de lui avoir donné toute son importance et d'avoir justifié de nombreuses formules inattendues qui interagissent entre ses éléments. On connaît l'utilisation de cet objet combinatoire en calcul des probabilités, dans le développement du binôme. On ignore peut-être tous les recoins où il se cache…

Qui aurait parié, en 1987, quand quelques passionnés ont eu l'idée saugrenue de créer un magazine professionnel consacré à la place des mathématiques dans le monde qui nous entoure, que Tangente, le titre qu'ils lui avaient donné, existerait encore 30 ans plus tard et deviendrait la référence universelle en matière de culture mathématique ? Pour fêter cet anniversaire, le Musée des arts et métiers, ouvert gratuitement le dimanche 3 décembre, a permis à des milliers d'amateurs d'assister à de nombreux événements : visites, animations, ateliers, signatures de livres, expositions artistiques, conférences, spectacles, remise des prix du concours Affaire de Logique.

Les abeilles occupent aujourd’hui le débat public concernant l’importance de leur survie pour l’équilibre naturel. Elles sont également passionnantes pour leurs capacités mathématiques insoupçonnées : elles savent compter jusqu’à cinq et même faire des opérations simples ! Cela suggère l’idée d’une universalité des réflexes mathématiques les plus simples et permet, en retour, de tenter de mieux comprendre des phénomènes humains comme l’apprentissage chez l’enfant ou les problèmes de dyscalculie. En revanche, leur supposé génie géométrique que l’on croit percevoir à travers la forme hexagonale des alvéoles ne serait pas de leur fait mais attribuable à des lois physiques. Allons butiner le miel mathématique des abeilles !

L’irruption, au temps des Grecs, de la notion d’irrationalité, avec l’impossibilité, pour certains nombres de s’écrire comme un quotient d’entiers, a été un temps fort des mathématiques. Chaque nouveau nombre fut alors soumis à la question : fraction ou irrationnel ? La démonstration, au XIXe siècle, de l’irrationalité de nombres comme π ou e, a ajouté un degré à la catégorisation : contrairement à d’autres, comme √2, ils n’étaient pas solution d’une équation polynomiale à coefficients entiers. Ils furent nommés transcendants, comme pour rappeler qu’ils venaient d’un monde supérieur. En fait, presque tous les nombres réels sont transcendants mais pour certains irrationnels, la question reste ouverte.

L'idée de regrouper les entiers selon le reste de leur division par un nombre donné est vieille comme l'arithmétique. Du « théorème des restes chinois », hérité de la Chine antique et étudié jusqu'au XIIIe siècle, à celui de Fermat, le domaine connaîtra de nombreux progrès, jusqu'à l'arrivée de Gauss, qui formalisera la notion de « congruence » et signera l'acte de naissance de l'arithmétique modulaire. Cette nouvelle et puissante vision des nombres, qui permet d'englober l'infinité des entiers dans un modèle fini, s'applique aussi à des domaines concrets : la preuve par 9, les cycles des calendriers, les codes de sécurité... Elle se retrouve aussi en musique et produit quelques jolies curiosités, comme certains tours de magie.

Les élèves le savent bien : appréhender les probabilités et les statistiques exige souvent un temps d'adaptation. Qui n'a jamais confondu corrélation et causalité ? Le hasard étant par nature imprévisible, comment espérer y bâtir des certitudes ? Plus étonnant encore : comment créer des modèles sur des phénomènes imprédictibles ?Notre intuition étant mise à rude épreuve, les paradoxes s'enchaînent gaiement, ce que l'univers du divertissement (casinos, jeux de société, médias, jeux de cartes ou de hasard…) a su mettre à profit. Mais dompter un tant soit peu le hasard apporte de puissants outils dans un monde où tout est connecté : choix des internautes, réservations en ligne, détection de courriers électroniques non sollicités font appel à un théorème découvert voici trois cents ans par un théologien anglais du nom de Thomas Bayes.