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Depuis des millénaires, les marins (et plus récemment les alpinistes) utilisent des nœuds pour attacher leurs cordages. Les entrelacs, déjà présents dans l’art décoratif romain, se retrouvent dans les motifs islamiques et celtiques. À la fin du XIXe siècle, Tait et Thomson, à travers une hypothèse – qui s’est révélée fausse – de liaisons chimiques qui s’entrelaceraient, ont fait entrer les nœuds dans le domaine des mathématiques. Vous aimez nouer les ficelles ou démêler les écheveaux de vos pelotes de laine ? La théorie des nœuds est faite pour vous ! Les défis mathématiques n’y manquent pas. Sans le savoir, Gauss, en étudiant certaines courbes, avait posé les jalons de cette théorie, qui permet de générer les nœuds de manière systématique, de les classer, de comprendre leurs liens avec la théorie des graphes ou de les distinguer « du premier coup d’œil » à l’aide d’un invariant complet… qui reste encore à construire.

La révolution relativiste avait déjà mis à mal les théories newtoniennes. La cause semblait entendue : les physiciens disposaient enfin de « la grande théorie universelle » qui allait leur permettre d'explorer méthodiquement l'univers, de l'infiniment grand à l'infiniment petit. L'infiniment grand, peut-être ! Mais le monde subatomique refuse encore obstinément de se soumettre aux lois classiques. De nouvelles théories règnent en maîtres dans ces royaumes. Les mathématiques ont été convoquées à la rescousse afin d'exprimer, de formaliser et d'expliquer les nombreux phénomènes, contre-intuitifs à nos sens et à nos échelles, qui ont cours en mécanique quantique.

Avec l’ellipse et l’hyperbole, la parabole est la troisième conique non circulaire. On pourrait croire que ses propriétés sont assez banales dans la mesure où son équation algébrique est l’une des plus simples. Sa définition, elle aussi, est élémentaire : il suffit d’un point et d’une droite pour la dessiner. Pourtant, elle ouvre des possibilités surprenantes, qu’il s’agisse de sa construction qui peut se révéler très ludique et pédagogique, de ses tangentes qui recèlent de nombreuses pépites, de sa quadrature qui permet de subtils raisonnements, sans compter tous les théorèmes qui lui sont liés ou encore toutes les applications qu’elle engendre. Bienvenue dans un univers où une simple courbe devient miroir du monde !

S’intéresser à d’autres cultures implique de sortir de l’européocentrisme naturel qui est le nôtre. Dès lors, se poser la question de l’existence de « notre » démonstration, issue d’Euclide, dans les mathématiques extrême-orientales devient caduque. Il est, en revanche, formateur de suivre l’importation et la diffusion de cette notion. L’étude de l’impact de cet événement permet ainsi de comprendre la distance entre différentes pratiques des mathématiques. Comment pose-t-on une équation ? Comment calcule-t-on ? Les méthodes sont nombreuses et leur découverte s’avère fructueuse, y compris pour celles que la tradition mathématique en Chine a pu oublier de son propre passé.

L'arrivée des théories relativistes imaginées par Albert Einstein au début du XXe siècle a bouleversé notre compréhension de l'univers. Les équations du nouveau modèle réservent leur lot de surprises mathématiques, et donc de fascination. La gravitation devient une manifestation de la géométrie, les espaces non euclidiens s'imposent, la formation de singularités théoriques laisse présager la découverte de trous noirs et d'autres objets très concrets, les tenseurs imposent de nouveaux formalismes… Un nouveau monde, où la cosmologie s'appuie sur les mathématiques, s'enrichit de jour en jour et il est loin d'avoir livré tous ses secrets !

À l’époque où Galois commence à s’intéresser aux mathématiques, les polynômes sont étudiés de longue date et les substitutions et groupes de permutation ont déjà été introduits par Lagrange et étudiés par Cauchy. Ruffini et Abel ont auparavant prouvé qu’il n’est pas possible en général de résoudre de manière algébrique les équations polynomiales de degré 5 ou plus. Dès lors, quel est l’apport de Galois ? Au-delà de résoudre un problème, il a ouvert un nouveau champ des mathématiques en montrant à quel point un groupe pouvait encoder les propriétés fondamentales d’un polynôme.

Une saga des grands théorèmes mathématiques est lancée ! À tout seigneur, tout honneur : le roi de la géométrie du triangle, le théorème de Thalès, ouvre le bal. Son nom restera pour toujours attaché à un célèbre savant vivant en Grèce au VIe siècle avant notre ère. Et sa teneur bouleversera à jamais les mathématiques, mais aussi d'autres sciences comme l'optique ou l'astronomie. Mais comment être certain que Thalès est le père de ce résultat si important ? Souvent, en effet, un théorème est nommé davantage en hommage à un mathématicien que du patronyme de son découvreur (pas toujours identifié)*… La question est finalement sans importance en regard des magnifiques pépites et des belles histoires qu'évoque le nom du théorème. (* Lire l'article Dis-moi, théorème, quel est ton nom ?)

Voir, manipuler, apprendre... Les objets mathématiques, qu'ils soient instruments, jeux, outils, casse-tête, supports, sculptures, oeuvres d'art, sont un moyen privilégié de s'approprier un concept abstrait, voire une notion subtile… « Faire sens ! » semble être leur raison d'être, du premier d'entre eux, l'os d'Ishango, à la banale règle graduée utilisée par tous les écoliers. Certains modèles géométriques, outre l'émerveillement qu'ils peuvent susciter, nous permettent d'appréhender des propriétés pas toujours évidentes… même à partir d'un simple cube !

Pythagore est bien plus qu'un mathématicien, dont le théorème, célèbre depuis l'Antiquité, traverse les générations et a suscité à travers les siècles un nombre impressionnant de démonstrations. Qu'on parle avec déférence de l'école pythagoricienne ou avec défiance de la secte des Pythagoriciens, on ne peut oublier que ce personnage mystérieux, dont on ignore presque tout, est au centre d'un édifice philosophique perpétué par ses disciples qui a influencé, au-delà des mathématiques et de l'astronomie, la musique elle-même.

C'est étonnant, mais le hasard est régi par une loi ! La loi normale est omniprésente en mathématiques et de manière plus générale dans toutes les sciences. Comment Gauss l'a pressentie grâce à l'astronomie et Laplace par extension de la loi binomiale ? Qu'est-ce qui en fait sa force ? Quel rôle joue le théorème central limite dans cette aventure ? Les sondages d'opinion sont une application de ce résultat, mais il faut relativiser leur fiabilité, des erreurs étant dues aux choix des échantillons et aux méthodes de réalisation.