La fraction 2/5 ou le théorème de Thales sont, en un certain sens, des objets mathématiques. Mais ceux qui vont nous intéresser sont les objets concrets, manipulables, physiques. Historiquement, les premiers furent des instruments. Outils pour mesurer, pour tracer, pour construire ou pour calculer. Au-delà de l’aspect purement utilitaire, leur étude en tant qu’objet donne accès à l’évolution de la pensée scientifique. Les instruments ont été créés pour résoudre un problème. Ils matérialisent les connaissances de l’époque et la démarche du concepteur de l’objet. Certains augmentent les performances humaines (plus précis, plus rapide…) alors que d’autres permettent de lever des impossibilités. C’est le cas, par exemple, des instruments de visées, qui mesurent des distances inaccessibles. En comparant une même famille d’instruments, on découvre les connaissances mathématiques embarquées. Plus ils sont pratiques à utiliser et plus ils sont élaborés.
Matérialiser des concepts =============================
Les mathématiques traitent d’objets abstraits. Une droite, un plan, sont des « objets mathématiques » qui n’existent pas dans le monde réel. Un polyèdre se définit par sa structure et ses propriétés. Matérialiser un objet abstrait, même si ce n’est qu’une approximation grossière d’une conception intellectuelle, permet de l’appréhender par d’autres sens : on peut le voir, le toucher, le manipuler, le faire tourner, en admirer les symétries de structure. Il devient l’incarnation d’une idée. Dès la Grèce antique, on utilisait des objets, voire des machines. Les mathématiciens grecs sont en phase avec le réel et s’appuient sur des considérations matérielles. Archimède était ingénieur, Héron d’Alexandrie mécanicien… La géométrie d’Euclide est une géométrie de la règle et du compas. À la Renaissance, Léonard de Vinci aurait dessiné ses merveilleux polyèdres à partir de modèles physiques. L’étude de courriers de Johannes Kepler a montré que ce dernier utilisait également des modèles physiques de polyèdres. Les cabinets de curiosité ont toujours contenu des objets mathématiques !
Une autre expérience est celle de la fabrication, de la matérialisation de ce concept abstrait. Le défi consiste à faire coïncider les contraintes du réel (matériaux disponibles, outils nécessaires…) à l’objet. Il est alors défini par une suite de gestes, de spécifications techniques qui indiquent le moyen de le créer à partir de rien. L’objet possède alors deux identités : celle du monde des idées et celle du monde réel. On pense d’ailleurs que l’homme moderne est devenu plus intelligent à force de… tailler des pierres.
Beaucoup d’artistes explorent les concepts mathématiques dans une démarche créative ; les mathématiciens utilisent ce miroir de la réalité pour se forger des intuitions. Il existe également un circuit inverse. Ainsi, les Grecs se servaient des objets pour accéder à des théories qui leurs échappaient. La machine de Nicomède, conçue pour résoudre les problèmes de trisection de l’angle et de doublement du volume du cube, en est un exemple. L’objet amena la découverte des courbes conchoïdes. La sphère armillaire permet de faire de la trigonométrie sphérique sans trigonométrie, les polyèdres réguliers sont certainement issus de cristaux vus dans la nature… Aujourd’hui, la simulation numérique participe de ce va-et-vient.