La frazione 2/5 o il teorema di Talete sono, in un certo senso, oggetti matematici. Ma a interessarci saranno gli oggetti concreti, manipolabili, fisici. Storicamente, i primi furono strumenti: utensili per misurare, tracciare, costruire o calcolare. Al di là dell’aspetto puramente utilitario, il loro studio in quanto oggetti permette di accedere all’evoluzione del pensiero scientifico. Gli strumenti furono creati per risolvere un problema. Materializzano le conoscenze dell’epoca e l’impostazione di chi li ha progettati. Alcuni accrescono le capacità umane — rendendo più precisi, più rapidi… — mentre altri permettono di compiere operazioni altrimenti impossibili. È il caso, per esempio, degli strumenti di mira, che misurano distanze inaccessibili. Confrontando strumenti della stessa famiglia, si scoprono le conoscenze matematiche che incorporano. Più sono pratici da usare, più sono elaborati.
Materializzare i concetti =============================
La matematica tratta oggetti astratti. Una retta, un piano sono «oggetti matematici» che non esistono nel mondo reale. Un poliedro è definito dalla sua struttura e dalle sue proprietà. Materializzare un oggetto astratto, anche se si tratta solo di una rozza approssimazione di una concezione intellettuale, consente di coglierlo con altri sensi: lo si può vedere, toccare, manipolare, far ruotare, ammirarne le simmetrie strutturali. Diventa l’incarnazione di un’idea. Già nell’antica Grecia si usavano oggetti, se non addirittura macchine. I matematici greci erano a contatto con la realtà e si basavano su considerazioni materiali. Archimede era ingegnere, Erone di Alessandria meccanico… La geometria di Euclide è una geometria con riga e compasso. Nel Rinascimento, Leonardo da Vinci avrebbe disegnato i suoi meravigliosi poliedri a partire da modelli fisici. Lo studio della corrispondenza di Johannes Kepler ha mostrato che anch’egli usava modelli fisici di poliedri. I gabinetti delle curiosità hanno sempre ospitato oggetti matematici!
Un’altra esperienza è quella della fabbricazione, della materializzazione di questo concetto astratto. La sfida consiste nel far coincidere i vincoli della realtà — materiali disponibili, strumenti necessari… — con l’oggetto. Esso viene allora definito da una successione di gesti, di specifiche tecniche che indicano come crearlo dal nulla. L’oggetto possiede così due identità: quella del mondo delle idee e quella del mondo reale. Si ritiene peraltro che l’uomo moderno sia diventato più intelligente a forza di… scheggiare pietre.
Molti artisti esplorano i concetti matematici con un approccio creativo; i matematici usano questo specchio della realtà per sviluppare intuizioni. Esiste anche un percorso inverso. Così, i Greci si servivano degli oggetti per accedere a teorie che sfuggivano loro. La macchina di Nicomede, progettata per risolvere i problemi della trisezione dell’angolo e del raddoppiamento del volume del cubo, ne è un esempio. L’oggetto portò alla scoperta delle curve concoidi. La sfera armillare permette di fare trigonometria sferica senza trigonometria, i poliedri regolari derivano certamente da cristalli osservati in natura… Oggi la simulazione numerica contribuisce anch’essa a questo scambio.