La fracción 2/5 o el teorema de Tales son, en cierto sentido, objetos matemáticos. Pero los que nos interesarán serán objetos concretos, manipulables, físicos. Históricamente, los primeros fueron instrumentos. Herramientas para medir, trazar, construir o calcular. Más allá de su aspecto puramente utilitario, estudiarlos como objetos permite acceder a la evolución del pensamiento científico. Los instrumentos se crearon para resolver un problema. Materializan los conocimientos de su época y el planteamiento de quien los diseñó. Algunos aumentan las capacidades humanas —son más precisos, más rápidos…—, mientras que otros permiten sortear limitaciones. Es el caso, por ejemplo, de los instrumentos de mira, que permiten medir distancias inaccesibles. Al comparar una misma familia de instrumentos, se descubren los conocimientos matemáticos que incorporan. Cuanto más prácticos son de usar, más elaborados resultan.
Materializar conceptos =============================
Las matemáticas tratan objetos abstractos. Una recta o un plano son «objetos matemáticos» que no existen en el mundo real. Un poliedro se define por su estructura y sus propiedades. Materializar un objeto abstracto, aunque no sea más que una aproximación burda de una concepción intelectual, permite aprehenderlo con otros sentidos: podemos verlo, tocarlo, manipularlo, hacerlo girar, admirar las simetrías de su estructura. Se convierte en la encarnación de una idea. Ya en la antigua Grecia se utilizaban objetos, e incluso máquinas. Los matemáticos griegos estaban en contacto con lo real y se apoyaban en consideraciones materiales. Arquímedes era ingeniero, Herón de Alejandría, mecánico… La geometría de Euclides es una geometría de regla y compás. Durante el Renacimiento, Leonardo da Vinci habría dibujado sus maravillosos poliedros a partir de modelos físicos. El estudio de cartas de Johannes Kepler ha mostrado que este también utilizaba modelos físicos de poliedros. ¡Los gabinetes de curiosidades siempre han albergado objetos matemáticos!
Otra experiencia consiste en fabricar, en materializar ese concepto abstracto. El reto es hacer coincidir las limitaciones de lo real —los materiales disponibles, las herramientas necesarias…— con el objeto. Este queda entonces definido por una sucesión de gestos y especificaciones técnicas que indican cómo crearlo de la nada. El objeto posee así dos identidades: la del mundo de las ideas y la del mundo real. De hecho, se cree que el ser humano moderno se volvió más inteligente a fuerza de… tallar piedras.
Muchos artistas exploran los conceptos matemáticos en un proceso creativo; los matemáticos utilizan este espejo de la realidad para forjarse intuiciones. También existe un proceso inverso. Así, los griegos se servían de los objetos para acceder a teorías que se les escapaban. La máquina de Nicomedes, concebida para resolver los problemas de la trisección del ángulo y la duplicación del volumen del cubo, es un ejemplo de ello. El objeto condujo al descubrimiento de las curvas concoides. La esfera armilar permite hacer trigonometría esférica sin trigonometría; los poliedros regulares proceden sin duda de cristales observados en la naturaleza… Hoy, la simulación numérica participa en este ir y venir.