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Améliorer, gagner un peu par-ci, éviter de perdre trop par-là, optimiser… tout cela est du ressort de l’analyse ! Si l’intuition géométrique nous sert à comparer, c’est bien l’analyse mathématique qui va nous permettre de quantifier les variations et ainsi de majorer ou de minorer de nombreuses expressions. Parmi les vedettes du domaine, on trouve l’inégalité arithmético-géométrique, bien connue des lycéens, et celle de Cauchy‒Schwarz, plus avancée mais d’une puissance redoutable.

Les mathématiques ne se résument certes pas à « faire des calculs sur des nombres ». Pour autant, la problématique du comptage d’objets est plus stimulante qu’il y paraît : peut-on tout compter de manière exacte, ou au moins de manière approchée ? Est-il utile de disposer d’une valeur numérique précise, ou une estimation est-elle suffisante ? Dans chaque situation, les techniques mathématiques mises en œuvre vont être différentes : énumérations, raisonnements combinatoires, outils algébriques, bijections ensemblistes. Pour dénombrer une population, on préférera la statistique, les modèles, les estimateurs. Compter, ce n’est pas une si mince affaire !

On parle aujourd’hui des « chiffres arabes » mais on ignore souvent complètement les systèmes de notations, successifs ou concurrents, qu’on utilisait dans les pays d’Islam. De même, on dit – et on répète volontiers – que l’algèbre est née avec al-Khwārizmī, et l’on sait parfois qu’il s’est intéressé aux questions d’héritage pour affiner ses méthodes de résolution, mais qui a déjà regardé la manière exacte dont il les abordait ? On oublie d’ailleurs bien souvent tous les autres mathématiciens, en particulier ultérieurs, qui ont structuré l’algèbre au fil des siècles. Et il ne faudrait pas négliger tout le développement de l’arithmétique, notamment récréative, qui a pu innerver de nombreux textes parfois sans lien apparent avec les mathématiques.

L'autoréférence est à la source de paradoxes bien connus, mais aussi d'une profonde crise dans les fondements de la logique et des mathématiques. Au cœur du fameux théorème d'incomplétude de Gödel, on peut trouver une variante de la phrase « Cette proposition est fausse ». Au-delà d'épineux problèmes philosophiques, l'autoréférence permet de jouer avec l'infini, aussi bien dans l'art que dans les mathématiques. Ainsi, certaines suites de nombres possèdent des symétries qu'on n'aurait jamais pu imaginer sans avoir réfléchi sur la riche notion d'autosimilarité, qui fait découvrir, pour notre plus grand plaisir, des suites « autodescriptives » et même « fractales ». Les lecteurs découvriront la suite de cet ambitieux dossier en deux parties dans le prochain numéro (Tangente 192).

L'autoréférence est à la source de paradoxes bien connus, mais aussi d'une profonde crise dans les fondements de la logique et des mathématiques. Au cœur du fameux théorème d'incomplétude de Gödel, on peut trouver une variante de la phrase « Cette proposition est fausse ». Au-delà d'épineux problèmes philosophiques, l'autoréférence permet de jouer avec l'infini, aussi bien dans l'art que dans les mathématiques. Ainsi, certaines suites de nombres possèdent des symétries qu'on n'aurait jamais pu imaginer sans avoir réfléchi sur la riche notion d'autosimilarité, qui fait découvrir, pour notre plus grand plaisir, des suites « autodescriptives » et même « fractales ». Les lecteurs découvriront la suite de cet ambitieux dossier en deux parties dans le prochain numéro (Tangente 192).

Laplace est le parfait exemple pour réfuter l’idée selon laquelle les scientifiques, inaccessibles et murés dans leur tour d’ivoire, sont confortablement isolés du monde qui les entoure. S’il est resté en dehors des troubles révolutionnaires, il s’est néanmoins impliqué en politique. Sénateur et chancelier, il signe par exemple la déchéance de Napoléon. Au-delà, son poste à l’Académie des sciences et son engagement lui permettent d’être au cœur du développement des Grandes Écoles en France. Cet aspect de sa vie reste encore peu étudié par les historiens.

À première vue, la dérivée, à la frontière entre la physique et les mathématiques, n'est rien d'autre que la vitesse instantanée d'un mobile. Mais comment la définir plus précisément ? Essayez donc, sans utiliser les limites... on semble diviser zéro par lui-même ! Les plus grands esprits, de Fermat à Cauchy en passant par Newton, ont mis des siècles à dégager rigoureusement et en toute généralité ce concept.Pourtant, on la retrouve partout, dans tout ce qui varie ; elle permet de prévoir l'avenir dans tout phénomène déterministe ! Un exemple d'actualité : votre taux d'imposition et la dérivée font très bon ménage...

Si c'est bien à Georg Cantor que l'on doit, à la fin du xix eme siècle, d'avoir définitivement fait de l'infini une branche des mathématiques plutôt que de la théologie ou de la philosophie, le « paradis » ainsi offert fut l'aboutissement de deux millénaires d'hésitations, d'allers-retours et de controverses sur fonds de paradoxes. Zénon avait présenté les contradictions embusquées. Aristote avait mis en place un compromis raisonnable. Les réflexions s'affinaient sur l'infiniment petit jusqu'à donner naissance au calcul différentiel… Aujourd'hui, l'infini a tant triomphé que c'est désormais à partir de lui que se définit le fini, en un extraordinaire renversement que l'on doit à Bolzano et à Dedekind.

La notion d’orientation permet de décupler la puissance et les applications de la géométrie. Comment s’orienter sur une droite, sur un plan, dans l’espace ? Pourquoi certains objets, comme la fameuse bande de Möbius, sont dits « non orientables » ? Pourquoi les aiguilles des horloges tournent dans un sens et pas dans l’autre ? Tous les choix d’orientation ne sont pas arbitraires et, comme souvent dans l’histoire des sciences, il a fallu plusieurs décennies pour passer de l’intuition à la rigueur sur ces questions. Si vous vous sentez un peu perdus, vous devriez vous y retrouver dans les pages qui suivent…

Les écrans ont envahi notre quotidien : ordinateur, tablettes, télévisions, smartphones, nous ne communiquons presque plus que par leur truchement. Nous devenons aussi de plus en plus exigeants quant à la qualité de leur définition. Le passage des petits formats noir et blanc du début des années cinquante aux grands écrans aux couleurs vives d'aujourd'hui ne peut être réalisé que grâce à d'étonnants progrès, tant au niveau de la transmission des signaux que de leur compression. Exploitant les particularités de notre appareil visuel, le format JPEG et ses différents dérivés nous livrent des images jugées nettes tout en demeurant d'un « poids » acceptable. Pour y parvenir, une transformation inspirée des travaux de Fourier produit d'excellents résultats.