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À l'heure de bronzer intelligent, profitez de ce numéro pour vous décrasser les neurones en résolvant des énigmes mathématiques dont certaines sortent de l'ordinaire ! Comment ? Pas de panique ! Notre dossier vous remettra le cerveau à l'étrier en vous remémorant, exemples à l'appui, les principales techniques de démonstration. L'incontournable récurrence et l'inépuisable principe des tiroirs sont évidemment au rendez-vous. D'Alcuin d'York autrefois à Terence Tao aujourd'hui, les grands mathématiciens ont toujours été friands de beaux problèmes, tandis que des vulgarisateurs, comme Martin Gardner, excellaient dans l'art de vous conduire à une solution élégante.

Les récréations autour des découpages géométriques (ou dissections) se retrouvent dans toutes les civilisations. Les carrés, les rectangles, les polygones et, depuis une cinquantaine d'années, les polyminos, fournissent une mine inépuisable d'énigmes dont l'élégance réside souvent dans la simplicité. Ce domaine de la géométrie recèle aussi de vraies interrogations mathématiques : deux figures de même aire peuvent-elles être obtenues, l'une à partir de l'autre, à l'aide d'une simple paire de ciseaux ? Un théorème répond à la question.

Du découpage électoral à l'organisation d'un service hospitalier, en passant par la protection de la biodiversité ou l'utilisation des énergies renouvelables, les applications de la recherche opérationnelle concernent des domaines très variés, parfois inattendus, où ses méthodes de modélisation et ses outils permettent d'aider l'humain dans sa prise de décision. Le but : trouver une solution optimale (ou au moins « pas trop mauvaise ») parmi un grand nombre de possibilités. La R.O. permet la conception, la configuration et l'exploitation de systèmes complexes qui ont une grande importance dans les entreprises ou pour les collectivités territoriales.

Quoi de mieux qu’un polynôme pour approximer, au voisinage d’un point, une fonction alambiquée ? Mieux encore : si cette dernière est « suffisamment régulière », les coefficients de son développement limité sont ses dérivées successives ; c’est la fameuse formule de Taylor qui nous l’apprend. On a pourtant des surprises : l’adéquation entre développement limité à tout ordre et développement de Taylor est mise parfois en défaut. Merveilles des mathématiques, et en particulier de l’analyse, personne ne peut se passer des développements limités. Ils sont en effet indispensables dans les calculs de limites de fonctions, dans l’étude des points particuliers d’une courbe, mais aussi dans des calculs de probabilités.

Les femmes sont sous-représentées dans la population des usagers de mathématiques, du lycée aux emplois à haute qualification scientifique. Quelle est l'origine de cette asymétrie ? Les stéréotypes de genres, ancrés au plus profond des esprits, y concourent. Comment y remédier ? Faut-il imposer des quotas, ou des formulations langagières comme l'écriture inclusive ? Des associations, comme Femmes et mathématiques, œuvrent pour faire évoluer les mentalités. Malgré tout, des femmes de talent ont pris place au plus haut niveau dans des instances ou des associations clés, ouvrant la voie à une évolution souhaitable. N.B. On pourra également lire : - dans Tangente Éducation 44, un dossier sur le même sujet, tourné vers l'égalité filles / garçons à l'école ; - sur le site www.infinimath.com/femmes-en-maths, un regroupement de tous les anciens articles de Tangente sur le sujet, réactualisés par leurs auteurs.

Qu'entend-on par le terme « conjecture » ? En quoi ont-elles fait progresser les maths ? Les mathématiciens n'aiment pas qu'un résultat leur résiste : ils s'attellent régulièrement à sa recherche jusqu'à lui trouver une solution. Le grand théorème de Fermat a tenu en haleine le monde mathématique pendant trois siècles et demi. Il existe cependant bien d'autres conjectures plus ou moins célèbres, en attente (Goldbach ou l'hypothèse de Riemann), démenties ou résolues (certaines même très récemment). Découvrez comment le mathématicien prodige Terence Tao a démontré la conjecture de discrépance d'Erdös !

On ne parle que d'elle, sans forcément savoir ce qu'elle recouvre ! L'économie étudie la production et l'échange de biens de consommation, à la base de la plupart des activités humaines. Le troc des premières sociétés s'est développé en un système complexe. Il importe d'en comprendre les notions essentielles, évoquées en permanence mais dont, bien souvent, on ignore le sens : la monnaie (de plus en plus virtuelle), l'inflation, le PIB, et les principaux indicateurs qui structurent et conditionnent la santé des États et des citoyens.

Qu'ont-elles de si remarquable, ces fameuses « identités » ? Pourquoi certaines héritent-elles de ce qualificatif ? Ce ne sont pourtant pas les formules élégantes et concises qui manquent en mathématiques... Mais ne boudons pas notre plaisir, et revenons sur ces relations.

Qu'ont en commun la médiatrice de deux points, une ellipse, une strophoïde ou une caustique ? Ce sont des lieux géométriques répondant à des conditions prédéfinies provenant de considérations purement mathématiques ou de problèmes tirés de la physique. L'introduction de la géométrie analytique puis du calcul différentiel ont révolutionné les méthodes de recherche de tels lieux. D'ingénieux savants ont conçu des mécanismes, des machines spécifiques pour les tracer. L'arrivée de l'informatique a bouleversé le paysage et donné naissance à de nouvelles questions géométriques.

À toutes les époques et dans toutes les civilisations, le jeu et le hasard qui les régit ont fasciné ! Depuis le XVe siècle, les mathématiciens ont petit à petit tenté d'apprivoiser le hasard et de mettre en équation les paris. Malgré leurs conclusions, les hommes cherchent encore à « forcer la main du destin » en élaborant des martingales pour gagner sur l'avenir incertain. Peut-on appliquer ces stratégies aux prochaines élections présidentielles ? Savez-vous tout des cotes, des méthodes des bookmakers et des paradoxes probabilistes totalement contre-intuitifs ?