Dossiers

Georg Cantor et sa théorie des ensembles ont ébranlé les fondements des mathématiques en mettant en évidence les raisonnements circulaires, c'est-à-dire faisant référence à eux-mêmes. Au tournant du XXe siècle, ses paradoxes surgissent sous la plume de Burali-Forti, de Russell et de Richard, plongeant Frege dans la consternation. Kurt Gödel montre que certaines assertions ne peuvent être démontrées ou réfutées dans un cadre axiomatique donné, mettant un terme négatif à un célèbre problème posé par Hilbert. L'autoréférence se retrouve aussi en littérature, dans la peinture, la sculpture et… dans la presse où, volontaire ou non, elle fait sourire.

Les tablettes japonaises votives que l’on trouve à l’entrée de certains temples intéressent depuis longtemps les mathématiciens car on y trouve parfois d’élégantes énigmes géométriques, où les cercles jouent un rôle important. Leur résolution est facile quand elle ne nécessite aucun résultat particulier. Plus souvent, il faut faire appel à des théorèmes classiques, comme celui de Pythagore. Enfin, dans quelques rares cas, le problème posé a résisté pendant des siècles… On ne l’imagine pas : la dernière énigme n’a été résolue qu’en 2020 ! Bienvenue dans le monde des sangaku.

Les civilisations ont redoublé d'ingéniosité pour permettre d'estimer des quantités. Elles ont créé des systèmes reposant sur des alphabets ou des symboles nouveaux. La réaction naturelle a été d'utiliser le système décimal, mais d'autres bases ont été inventées, comme la base 60, encore vivace de nos jours pour définir l'heure. Venue d'Inde, la numération de position a permis d'utiliser des algorithmes pour effectuer des opérations. Plus récemment, le système binaire s'est avéré essentiel dans l'explosion de l'informatique et de la science des données.

La Chine représente le centre des mathématiques extrême-orientales car sa puissance géopolitique continue et son écriture utilisée par d’autres civilisations ont permis à tout le corpus mathématique écrit en chinois d’être lu, adapté et approfondi au fil des siècles. Les textes qui nous sont parvenus ne sont néanmoins pas très nombreux et sont la conséquence de choix des dynasties successives. Si le traité le plus fameux – et le plus ancien – est Les neuf chapitres, bien d’autres ouvrages ont développé des recherches très poussées, originales et parfois en avance par rapport à ce qui se faisait en Europe au même moment. Néanmoins, les mathématiques dites chinoises ne se présentent pas comme une unité : c’est là que les choses deviennent intéressantes !

Lequel de nos lecteurs ne connaît le triplet (3, 4, 5), matérialisé par la « corde à treize nœuds » des bâtisseurs de l’Égypte antique puis du Moyen Âge ? Pourquoi 3, 4, 5 ? Parce que 32 + 42 = 52, c’est simple comme le théorème de Pythagore ! Cette relation relie les longueurs des trois côtés du triangle rectangle le plus élémentaire qui soit. Au-delà de ces trois nombres devenus mythiques, explorer les triplets pythagoriciens permettra non seulement de savoir que le théorème de Pythagore était déjà connu bien avant la naissance du plus célèbre des savants de l’Antiquité, mais aussi de percer les secrets de ces groupes de trois entiers, à travers les procédures qui vont permettre de les construire. Cela conduira aussi à étudier les différentes propriétés de toutes les variétés de « triangles pythagoriciens ». Mais savez-vous que Fermat, pour montrer que « l’aire d’un triangle rectangle ne peut être un carré », en a déduit sa méthode de « descente infinie » ? Le voyage à travers ce thème réserve de belles surprises !

Lire tout en cultivant son intérêt, voire sa passion pour les maths, c'est possible grâce à Tangente. Pour la douzième édition du Prix Tangente du livre, notre magazine vous propose de voter pour l'un des dix ouvrages récents sélectionnés pour leur capacité à transmettre le goût des maths. Lire, oui, mais pourquoi pas écrire ? Si vous avez la plume agile et l'esprit inventif, participez au Prix du meilleur article. Un rêve… voir bientôt votre texte dans Tangente ! Les Trophées Tangente s'adressent aussi aux scolaires. Découvrez le palmarès du Prix Tangente des lycéens ou incitez un jeune à participer au Prix Bernard-Novelli, un concours de création d'un logiciel de jeu mathématique.

Aux confins de l’arithmétique, de l’algèbre et de l’analyse se trouve un illustre inconnu : Diophante. Si l’on ne sait rien de sa vie, les équations qui portent son nom ont donné lieu à une vaste littérature reliant de grands noms tels que Pythagore, Euclide, Fermat, Bézout, Bachet de Mézirac, Lagrange, sans oublier, parmi tant d’autres, Hypatie et Sophie Germain. Ce dossier est ainsi l’occasion de découvrir l’histoire des équations diophantiennes, de montrer un visage de Fermat moins connu que celui de son fameux « grand théorème » ainsi que de s’émerveiller devant l’ingéniosité mathématique grâce à des résolutions astucieuses en forme… de billard !

Cinq cents ans exactement après sa mort, Léonard de Vinci fascine toujours. Pour les Français, c'est à travers la Joconde au Louvre, et les inventions spectaculaires présentées au château du Clos Lucé à Amboise. Artiste, ingénieur, scientifique, ce génial savant italien a traversé les Alpes pour terminer ses jours dans le Val de Loire. Son lien étroit avec Luca Pacioli, mathématicien fondateur de la comptabilité, a orienté Léonard vers une approche mathématique. Ses dessins de polyèdres transforment des figures géométriques en autant d'œuvres d'art. Dans un monde sortant du Moyen Âge, bien avant René Descartes, sa maîtrise tant théorique que pratique de la perspective lui a fait comprendre, à travers le lien étroit qui existe entre la peinture et les mathématiques, l'importance de la démarche scientifique.

L’ethnomathématique est une discipline récente et encore mal connue des non spécialistes. Elle s’attache à étudier les expressions de types de rationalité chez diverses populations ne faisant pas des mathématiques telles qu’on les enseigne et les conçoit habituellement. Son histoire se présente comme une convergence entre mathématiques et anthropologie, où la géométrie, la numération ou l’algorithmique se révèlent des outils précieux pour l’étude de pratiques culturelles autochtones. À l’inverse, les éléments mathématiques que l’on perçoit en explorant ces coutumes interrogent sur notre rapport à la discipline. Un objectif pour ce dossier : regarder les maths d’ailleurs mais surtout autrement !

Connue du grand public pour avoir été la première femme récipiendaire de la médaille Fields, Maryam Mirzakhani est souvent décrite par ceux qui ont croisé sa route comme opiniâtre, timide et exceptionnelle à plus d’un titre. De ses brillantes études à Téhéran à sa carrière remarquée à Stanford, en passant par ses divers succès aux Olympiades internationales de mathématique, sa trajectoire fulgurante est relatée par le cinéaste George Cziczeri dans son documentaire Les secrets de la surface. Nous avons tenté, dans ce dossier, de donner un aperçu de ses travaux en géométrie des surfaces et de l’importance de ses résultats.