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Quel étrange personnage que Neper ! Décédé voici exactement quatre cents ans, ce mathématicien a su transformer la multiplication en addition et l'élévation à une puissance en multiplication. Il invente pour cela les logarithmes, qui permettront d'immenses progrès scientifiques. On comprendra plus tard que le logarithme entretient une réciprocité avec l'exponentielle, permettant ainsi un essor du calcul différentiel et intégral. Si de nos jours les tables de logarithmes sont remisées au grenier, les logarithmes restent un outil très utile, bien au-delà des mathématiques.

Mandelbrot a compris que, loin d’être de simples curiosités mathématiques, les fractales, ces objets autosimilaires, pourraient constituer une description puissante de vastes champs du monde réel. C’est ainsi qu’il a offert un regard nouveau sur tout un pan des mathématiques, tout en montrant combien les modèles fractals pouvaient être pertinents pour l’étude de la nature ou pour modéliser les fluctuations de valeurs boursières. Mais si le nom de Benoît Mandelbrot est associé aux fractales, en particulier à celle qui porte son nom, on oublie souvent qu’il a aussi œuvré dans de nombreux autres domaines : aéronautique, théorie de l’information, linguistique…

Nombres carrés, cubiques, pyramidaux, entiers oblongs, pentagonaux, hexagonaux… On peut disposer pléthore d’entiers sous la forme d’élégantes figures géométriques régulières. Tout changement de point de vue qui permet de passer d’une représentation arithmétique à une représentation géométrique (et réciproquement) est fécond et conduit à de nombreuses énigmes… pas toujours faciles. Vous pensez sans doute que tout a déjà été dit et redit (y compris dans Tangente !) sur les nombres figurés. Erreur ! Connaissez-vous les travaux du mathématicien de la Renaissance Francesco Maurolico ? Avec ce dossier, vous allez redécouvrir l’arithmologie !

De nos jours, les écoliers apprennent encore à effectuer des calculs « à la main » en posant leurs opérations arithmétiques sur le papier. Ces algorithmes bien connus ne sont pas les seuls existants. Plusieurs techniques ont évolué au fil du temps ; celles qui nous sont enseignées résultent de choix qui peuvent paraître arbitraires. Dans l’Antiquité, ce sont des abaques qui étaient utilisés pour représenter les nombres et les additionner. Au XVIIe siècle, John Napier met au point ses fameux bâtons permettant d’effectuer des multiplications. Tous ces outils ont dû résoudre un même problème majeur : gérer les retenues !

Les pavages réguliers et les frises sont aujourd'hui catalogués de manière rigoureuse, mais leur diversité dépasse de loin l'intuition première. Au XXe siècle, la théorie des groupes a en effet eu raison de leur apparente variété, grâce à l'introduction de notations aussi astucieuses que puissantes. Le sujet semblait à peine clos qu'on a découvert des pavages non réguliers ! Le mathématicien Roger Penrose et le graveur Maurits Cornelis Escher ont été les précurseurs de ces nouvelles mosaïques étonnantes et magnifiques… dont les artistes musulmans avaient déjà entrevu les richesses !

Depuis la fin du Moyen Âge, on a pris l'habitude de ramener un effectif à cent pour comparer différentes données. La montée du système bancaire et des prêts à intérêts a encore renforcé l'utilisation des pourcentages pour définir des taux et calculer des augmentations et des baisses. Très présents en économie, les pourcentages sont maintenant utilisés dans de nombreux autres domaines, envahissant le langage des journalistes et le discours politique. Leur maniement très délicat entraîne de multiples erreurs, amenant parfois de la confusion là où l'on voulait être clair et précis.

Ils accompagnent tous les passionnés de belles mathématiques, depuis toujours : les défis, les énigmes, les problèmes. Suscitant tour à tour l'étonnement, l'incrédulité, la fascination ou le désemparement, ils éveillent notre curiosité et allument l'étincelle de la compréhension.Les énigmes font partie de la culture humaine depuis l'Antiquité, chez les Grecs avec Zénon, chez les Arabes avec Abu al-Wafa, à la Renaissance avec Bachet de Méziriac De grands « passeurs » nous ont transmis mille et une merveilles, qui ont inspiré les fondateurs de Tangente : Sam Loyd, Henry Dudeney, Martin Gardner? Et quelques mathématiciens de génie, Leonhard Euler et John Conway en tête, nous ont légué des sujets de réflexion et d'éblouissement qui ont ouvert de nouveaux champs de la connaissance, aujourd'hui encore revisités, étendus, généralisés bref, qui ne sont pas près de se démoder !

Dans l'univers impitoyable des fonctions continues, où évoluent des objets parfois si anarchiques qu'on ne peut les représenter graphiquement avec fidélité, la famille des polynômes est rassurante. Quoi de plus simple, a priori, que ces combinaisons des monômes 1, X, X2, X3… ? D'ailleurs, de Viète aux compétitions mathématiques d'aujourd'hui, ils sont souvent sollicités lors de défis qui les mettent en scène. Les polynômes permettent aussi d'approcher, d'aussi près que l'on veut, la majorité des fonctions que l'on rencontre au quotidien. Mais cette efficace approximation se fait parfois aux dépens de l'intuition, et donc des besoins !

Qu’ont en commun le grand théorème de Fermat, la conjecture de Catalan, le dénombrement de grains de riz sur un échiquier ou encore le problème de Waring ? Ils font tous intervenir des puissances, et ils ont occupé (et occupent encore !) les mathématiciens depuis parfois des siècles. Les nombres se prêtent avec bonheur à cette « cinquième opération arithmétique » qu’est l’élévation à une puissance donnée. Dès lors, les expérimentations fleurissent, dont vont émerger certaines des plus fameuses conjectures et quelques applications inattendues. En cryptographie, assurer la confidentialité des échanges demande d’utiliser de très grands nombres et l’élévation à une puissance est un outil qui permet d’en obtenir avec un coût modéré en termes de temps de calcul.

La plupart des théories physiques ont été imaginées abstraitement avant d'être (ou non) validées, parfois longtemps après, par des observations. Aujourd'hui encore, les explorations continuent et proposent de nouvelles visions de notre monde, qui seront un jour confirmées ou démenties. Ce sont souvent des mathématiciens audacieux qui se sont ainsi risqués sur un terrain qui n'est apparemment pas le leur, encore que les deux disciplines aient été très proches jusqu'au siècle dernier. Pourtant, qui mieux que ces aventuriers des concepts abstraits peut dénicher une loi cachée ? Parmi eux, une femme, Emmy Noether, a su adosser une partie de la physique à la recherche et l'étude d'invariants, devenant ainsi une pionnière de la physique mathématique moderne. Certains des célèbres problèmes de David Hilbert sont, eux aussi, en liaison avec la physique.