La fascination exercée par les nombres figurés (dont les propriétés sont rappelées dans les encadrés) a donné naissance à de nombreux problèmes arithmétiques. Beaucoup consistent à rechercher les entiers appartenant à deux classes distinctes de nombres figurés. Parmi les questions que l’on peut se poser, la plus séduisante est sans doute la suivante : les solutions sont-elles en nombre fini ou infini ?
Essayons de dresser un catalogue, partiel et partial, de ces problèmes. La diversité des types de nombres figurés permet d’en imaginer quantité d’autres. Avis aux amateurs !
Pensez à la récurrence !
Existe-t-il des nombres entiers qui soient à la fois carrés et triangulaires ?
La réponse est positive. Les premières solutions sont 0, 1, 36, 1 225, 41 616, 1 413 721, 48 024 900, 1 631 432 881, 55 420 693 056, 1 882 672 131 025… Elles sont liées par une relation de récurrence : si l’on note (an )n ≥ 0 la suite de ces entiers, on a a0 = 0, a1 = 1, pour n ≥ 2, an = 34 an–1 – an–2 + 2.
