La fascinación que ejercen los números figurados —cuyas propiedades se recuerdan en los recuadros— ha dado lugar a numerosos problemas aritméticos. Muchos consisten en buscar los números enteros que pertenecen a dos clases distintas de números figurados. Entre las preguntas que cabe plantearse, la más seductora es sin duda la siguiente: ¿las soluciones son finitas o infinitas?
Intentemos elaborar un catálogo, parcial y sesgado, de estos problemas. La diversidad de tipos de números figurados permite imaginar muchos otros. ¡Atención, aficionados!
¡Pensad en la recurrencia! ------------------------
¿Existen números enteros que sean a la vez cuadrados y triangulares?
La respuesta es afirmativa. Las primeras soluciones son 0, 1, 36, 1 225, 41 616, 1 413 721, 48 024 900, 1 631 432 881, 55 420 693 056, 1 882 672 131 025… Están relacionadas por la siguiente recurrencia: si denotamos por (*an )n *≥ 0 la sucesión de estos enteros, se tiene a0 = 0, a1 = 1 y, para n ≥ 2, *an = 34 an*–1 – *an–*2 + 2.