Il fascino esercitato dai numeri figurati (le cui proprietà sono richiamate nei riquadri) ha dato origine a numerosi problemi aritmetici. Molti consistono nel cercare gli interi appartenenti a due classi distinte di numeri figurati. Tra le domande che ci si può porre, la più seducente è senza dubbio questa: le soluzioni sono in numero finito o infinito?
Proviamo a compilare un catalogo, parziale e di parte, di questi problemi. La varietà dei tipi di numeri figurati permette di immaginarne molti altri. Appassionati, a voi la sfida!
Pensate alla ricorrenza! ------------------------
Esistono numeri interi che siano al tempo stesso quadrati e triangolari?
La risposta è affermativa. Le prime soluzioni sono 0, 1, 36, 1 225, 41 616, 1 413 721, 48 024 900, 1 631 432 881, 55 420 693 056, 1 882 672 131 025… Sono legate da una relazione di ricorrenza: indicando con (*an )n *≥ 0 la successione di questi interi, si ha a0 = 0, a1 = 1 e, per n ≥ 2, *an = 34 an*–1 – *an–*2 + 2.