Nombreux sont ceux qui, pour calculer sans machine électronique pour un nombre réel a « petit », remplacent ce calcul par celui de la valeur , plus facile à faire ! A-t-on le droit de recourir à cette astuce ? En fait, la question que l’on devrait se poser devrait plutôt être : quelle erreur commet-on en faisant ainsi ? Peut-on remplacer par par pour x « proche » de 0 ?
De manière plus générale, peut-on remplacer, toujours quand x est « petit », la valeur f (x) d’une fonction f quelconque par P(x), où P est un polynôme, et ainsi en déduire plus facilement le comportement local en 0 de f (x) ? Et est-ce possible en d’autres valeurs que 0 ? Comment formaliser tout cela ?
Il a fallu attendre la fin du XVIIIe siècle et des idées plus claires sur la notion de limite pour que se mette en place de manière rigoureuse (voir article « La genèse des expansions de fonctions ») la notion de développement limité qui permet de répondre à toutes ces questions.
Un développement limité, c’est quoi ?
Considérons une fonction f définie sur un voisinage de 0 (par exemple sur un intervalle ouvert ]‒a, a[ avec a > 0) et à valeurs réelles et n un entier supérieur ou égal à 1. La fonction f admet un développement limité d’ordre n en 0 s’il existe un polynôme P de degré inférieur ou égal à n tel que, pour x dans ce voisinage, f (x) – P(x) soit négligeable devant xn : cela signifie que f (x) – P(x) va s’écrire xn ε(x), où ε(x) a pour limite 0 quand x tend vers 0. On exprime aussi cela en disant que f (x) – P(x) est un o (xn) (on prononce « petit o de xn »).
