Un développement limité qui ne provient pas de la formule de Taylor

Dire que la fonction f admet un développement limité à l’ordre 0 au voisinage de 0 équivaut à dire que f (x) = f (0) + o(1), c’est-à-dire que f (x) = f (0) + ε(x) avec ε tendant vers 0 en 0. En d’autres termes, c’est dire que f est continue en 0.
Dire que la fonction f admet un développement limité à l’ordre 1 équivaut à dire que f (x) = f (0) + ax + o(x), c’est-à-dire que f(x)−f(0)x=f′(0)+ε(x)\frac{f(x)-f(0)}{x} = f'(0) + \varepsilon(x) avec ε tendant vers 0 en 0. Cela équivaut à dire que f est dérivable en 0 et que f ’(0) = a.
On pourrait être tenté de conjecturer que, pour tout n ≥ 2, la fonction f admet un développement limité à l’ordre n au voisinage de 0 si, et seulement si, f est n fois dérivable en 0. Dans un sens, c’est vrai puisque, si f est n fois dérivable en 0, alors, par la formule de Taylor, elle admet un développement limité à l’ordre n. Cependant, la réciproque est grossièrement fausse !
Considérons en effet la fonction