Les développements limités
Quoi de mieux qu’un polynôme pour approximer, au voisinage d’un point, une fonction alambiquée ? Mieux encore : si cette dernière est « suffisamment régulière », les coefficients de son développement limité sont ses dérivées successives ; c’est la fameuse formule de Taylor qui nous l’apprend. On a pourtant des surprises : l’adéquation entre développement limité à tout ordre et développement de Taylor est mise parfois en défaut. Merveilles des mathématiques, et en particulier de l’analyse, personne ne peut se passer des développements limités. Ils sont en effet indispensables dans les calculs de limites de fonctions, dans l’étude des points particuliers d’une courbe, mais aussi dans des calculs de probabilités.
Tous les articles de ce dossier
PodcastD’indispensables instruments de l’analyse
Face à des fonctions un peu alambiquées, qui n’a pas eu envie de les remplacer par d’autres beaucoup plus élémentaires qui auraient « le même comportement », par exemple des polynômes ? En fait, grâce aux développements limités, c’est presque toujours possible, au moins localement !
PodcastQuelques contre-exemples troublants
Vous pensiez tout connaître des développements limités ? Voici quelques contre-exemples déroutants...
PodcastLes équivalents, un outil pour le calcul des limites
Pourquoi se fatiguer à calculer des équivalents à des fonctions d’apparence « sympathique » ? Pour comprendre finement un comportement local ou asymptotique, et aussi pour les applications ! Sans ces techniques, même les tableurs seraient impuissants à réaliser des calculs d’apparence anodine.
PodcastLa genèse des expansions de fonctions
Les premières expansions de fonctions en séries entières ont été concomitantes du développement du calcul différentiel et intégral à la fin du XVIIe siècle. En les tronquant, on obtenait en fait des développements limités !
PodcastElle a de beaux restes
L’emploi d’un développement limité en lieu et place de la fonction elle-même n’est justifiable que si cette approximation ne modifie pas le calcul des propriétés étudiées (limite, majoration ou autre). C’est pourquoi le comportement du reste est important.
PodcastAu service des courbes
Par la magie de la géométrie analytique, les propriétés d'une formule algébrique se traduisent visuellement sur des courbes associées. Dans ce va-et-vient constant, les développements limités jouent un rôle absolument prépondérant.