Qu'appelle-t-on un lieu géométrique ? Il s'agit en général de tous les points du plan (ou de l'espace) vérifiant une propriété donnée. La médiatrice de deux points A et B dans le plan en est un exemple élémentaire puisque c'est le lieu des points équidistants de A et de B. Plus subtilement, l'ellipse en est un autre, comme l'ensemble des points dont la distance à deux points F et F' est égale à une longueur a donnée (évidemment supérieure à la distance de F à F'). Mais alors, dira-t-on, toute courbe est un lieu géométrique ! En fait, pas tout à fait si l'on considère la définition actuelle d'une courbe par une équation abstraite quelconque… Par «lieu géométrique», on entend que l'expression soit explicite et puisse donc faire l'objet d'un tracé. De nombreuses approches permettent de définir de tels lieux géométriques. Brossons un tableau historique de l'évolution de cette notion.
L'Antiquité et les Anciens -------------------------------
L'approche d'Euclide n'est pas tournée vers la recherche de lieux géométriques. Chez Apollonius, au contraire, de nombreux problèmes qu'il résout s'y apparentent. On connaît son intérêt pour les coniques ; il étudie ainsi les points desquels on peut tracer plusieurs normales à l'ellipse ou à l'hyperbole. Il obtient ainsi la développée de ces courbes. Dans l'œuvre d'Archimède, on trouve de nombreux calculs d'aires. Cependant, la définition qu'il donne de la spirale qui porte son nom s'apparente au problème de recherche d'un lieu. Il considère une droite D tournant à vitesse constante autour d'un point O et un point M, partant de O et qui s'en éloigne à vitesse constante également (voir en encadré). Archimède nous propose ainsi l'un des premiers lieux géométriques défini par un problème cinématique !
Quatre siècles plus tard, Nicomède, qui vivait à Alexandrie, introduit la conchoïde pour tenter de résoudre, vainement, le problème de la trisection de l'angle. Il considère un point O, une droite D et une longueur m. Il fait tourner alors une droite Δ\Delta autour de O et, en notant P le point d'intersection de Δ\Delta avec D, il considère les deux points Q et R de Δ\Delta situés de part et d'autre de P et à une distance m de celui-ci (voir en encadré). Cette courbe a peu d'intérêt de nos jours ; elle reste cependant la première construction connue d'une courbe autre que la droite ou le cercle.
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