¿Qué llamamos lugar geométrico? Por lo general, se trata de todos los puntos del plano (o del espacio) que verifican una propiedad dada. La mediatriz de dos puntos A y B del plano es un ejemplo elemental, pues es el lugar de los puntos equidistantes de A y de B. De forma más sutil, la elipse es otro: el conjunto de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos F y F' es igual a una longitud a dada (evidentemente superior a la distancia entre F y F'). Pero entonces, se dirá, ¡toda curva es un lugar geométrico! En realidad, no del todo, si consideramos la definición actual de una curva mediante una ecuación abstracta cualquiera… Por «lugar geométrico» entendemos que la expresión sea explícita y, por tanto, pueda trazarse. Numerosos enfoques permiten definir tales lugares geométricos. Esbocemos un panorama histórico de la evolución de esta noción.
La Antigüedad y los antiguos -------------------------------
El enfoque de Euclides no se orienta a la búsqueda de lugares geométricos. En cambio, muchos de los problemas que resuelve Apolonio se relacionan con la búsqueda de lugares geométricos. Es conocido su interés por las cónicas; estudia así los puntos desde los cuales se pueden trazar varias normales a la elipse o a la hipérbola. Obtiene de este modo la evoluta de estas curvas. En la obra de Arquímedes encontramos numerosos cálculos de áreas. Sin embargo, la definición que da de la espiral que lleva su nombre se aproxima a la búsqueda de un lugar geométrico. Considera una recta D que gira a velocidad constante alrededor de un punto O y un punto M que parte de O y se aleja de él también a velocidad constante (véase el recuadro). ¡Arquímedes nos propone así uno de los primeros lugares geométricos definidos mediante un problema cinemático!
Cuatro siglos más tarde, Nicomedes, que vivía en Alejandría, introduce la concoide para intentar resolver, en vano, el problema de la trisección del ángulo. Considera un punto O, una recta D y una longitud m. Hace girar entonces una recta Δ\Delta alrededor de O y, llamando P al punto de intersección de Δ\Delta con D, considera los dos puntos Q y R de Δ\Delta situados a ambos lados de P y a una distancia m de este (véase el recuadro). Esta curva tiene hoy poco interés; no obstante, sigue siendo la primera construcción conocida de una curva distinta de la recta o la circunferencia.
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