Che cos’è un luogo geometrico? In genere si tratta di tutti i punti del piano (o dello spazio) che soddisfano una data proprietà. L’asse del segmento AB nel piano ne è un esempio elementare, poiché è il luogo dei punti equidistanti da A e da B. Più sottilmente, anche l’ellisse lo è: è l’insieme dei punti la cui distanza da due punti F e F’ è uguale a una data lunghezza a, ovviamente maggiore della distanza tra F e F’. Ma allora, si dirà, ogni curva è un luogo geometrico! In realtà non proprio, se si considera l’attuale definizione di curva mediante una qualunque equazione astratta… Con «luogo geometrico» si intende un’espressione esplicita, che possa quindi essere tracciata. Numerosi approcci permettono di definire tali luoghi geometrici. Ripercorriamo l’evoluzione storica di questa nozione.
L’antichità e gli antichi -------------------------------
L’approccio di Euclide non era rivolto alla ricerca di luoghi geometrici. In Apollonio, invece, molti dei problemi che risolse vi si avvicinano. È noto il suo interesse per le coniche: studiò così i punti dai quali si possono tracciare più normali a un’ellisse o a un’iperbole. Ottenne in questo modo l’evoluta di tali curve. Nell’opera di Archimede si trovano numerosi calcoli di aree. Tuttavia, la definizione che diede della spirale che porta il suo nome si avvicina al problema della ricerca di un luogo. Considerò una retta D che ruota a velocità costante attorno a un punto O e un punto M che parte da O e se ne allontana anch’esso a velocità costante (vedi il riquadro). Archimede ci propose così uno dei primi luoghi geometrici definiti da un problema cinematico!
Quattro secoli più tardi, Nicomede, che viveva ad Alessandria, introdusse la concoide nel vano tentativo di risolvere il problema della trisezione dell’angolo. Considerò un punto O, una retta D e una lunghezza m. Fece allora ruotare una retta Δ\Delta attorno a O e, indicando con P il punto d’intersezione di Δ\Delta con D, considerò i due punti Q e R di Δ\Delta situati ai due lati di P e a distanza m da esso (vedi il riquadro). Oggi questa curva ha scarso interesse; resta tuttavia la prima costruzione nota di una curva diversa dalla retta o dal cerchio.
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