Un ingegnoso dispositivo meccanico, ispirato al celebre «metodo del giardiniere», permette di ritagliare una tavola di legno secondo un’ellisse le cui lunghezze degli assi sono assegnate. Per tracciare un’ellisse, il metodo del giardiniere consiste nel munirsi di uno spago non elastico e nel far scorrere una matita mantenendo lo spago sempre ben teso.

*Per definizione, un’ellisse E è il luogo dei punti M per i quali la somma delle distanze da due punti fissi (F e F') è costante. La sua equazione può scriversi x2 / a2 + y2 / b2 = 1, dove a è la lunghezza del semiasse maggiore e b quella del semiasse minore.*

L’animazione seguente è disponibile su YouTube:
Ringraziamo Grégoire Baudry per le sue osservazioni su un dispositivo per ritagliare un’ellisse, basato su una costruzione derivata da questo procedimento (figura qui sotto), nella quale due punti di un’asta sono vincolati a muoversi lungo due assi perpendicolari, mentre un altro punto dell’asta traccia l’ellisse desiderata. Durante il moto, tutti i punti dell’asta descrivono ellissi di centro O, punto d’intersezione dei due assi.

Nel moto lungo gli assi (Ox) e (Oy), lo scorrimento delle linguette L1 e L2 fa sì che le lunghezze a e b restino costanti. L’ascissa x(M) del punto M è uguale a b cos(θ), mentre la sua ordinata y(M) vale (a + b) sin(θ). Dopo una rotazione di 90°, si riconosce l’equazione di un’ellisse con asse maggiore a + b e asse minore b. Questa figura richiama il moto di una striscia di carta che scivola su un piano e un capitolo ormai dimenticato della geometria: il moto piano su piano. In questo tipo di moto si distinguono un piano fisso, P, e un piano mobile, M.

Si suppone che gli spostamenti siano parametrizzati dal tempo t. Durante il moto, punti come A e B descrivono rispettivamente le curve *CA e CB. Poiché nel moto le distanze si conservano, si passa dalla posizione del piano M(t) a una posizione infinitamente vicina M(t') (dove t'=t+dt) mediante una rotazione infinitesima di angolo dθ attorno a un punto I(t), detto centro istantaneo di rotazione*.
####
Durante il moto del piano mobile M(t), la distanza fra due punti A e B di tale piano resta costante, il che mostra che, in ogni istante, il moto è una rotazione.
Durante il moto infinitesimo del punto A lungo la curva *CA, le normali in due punti vicini A e A' si incontrano nel centro istantaneo di rotazione, qualunque sia il punto considerato. Di conseguenza, le normali a tutte le curve percorse dai diversi punti del piano M si incontrano, a un dato istante t*, nel centro istantaneo di rotazione, da cui una facile costruzione di questo punto, dovuta a Chasles.
####
Una retta (AB), il cui punto A si muove su CA e il cui punto B si muove su CB, descrive un inviluppo. Il centro istantaneo di rotazione I è all’intersezione delle normali a CA e CB in A e B. Il punto caratteristico di contatto della retta (AB) con il suo inviluppo si trova sulla perpendicolare condotta da I a (AB).
-
Base, rulletta e inviluppo ---------------------------
Il luogo geometrico del centro istantaneo di rotazione nel piano fisso P è detto la base B; il luogo nel piano mobile M è la rulletta R. La rulletta R «rotola senza slittare» sulla base B, come si può rappresentare immaginando base e rulletta munite di minuscoli denti che s’ingranano durante il moto.

Un punto M della circonferenza C che rotola senza slittare su una retta D genera la cicloide. La normale alla cicloide nel punto M passa per il centro istantaneo di rotazione I del moto piano su piano.

Ecco un esempio animato disponibile su YouTube:
Così, nel moto di una circonferenza C (la rulletta) che rotola senza slittare su una retta D (la base), la traiettoria di un punto M della circonferenza C nel piano P è la cicloide. Numerose proprietà di questa curva furono dedotte nel 17º secolo da Cartesio, che utilizzò le proprietà legate a questo moto in una lettera a padre Mersenne. Cartesio può essere considerato il fondatore di questo campo della geometria. Altri matematici ne estesero l’ambito, in particolare Michel Chasles (1793-1880, vedi Tangente 160) e Gabriel Koenigs (1858-1931). Quest’ultimo dimostrò che, se tre piani sono in moto gli uni rispetto agli altri, i tre centri istantanei di rotazione dei piani presi a due a due sono allineati.
Il moto piano su piano è impiegato nella teoria degli inviluppi di rette (l’inviluppo di una famiglia di rette è la curva alla quale tutte le rette sono tangenti). Il punto detto caratteristico di contatto di una retta con il suo inviluppo si determina quindi semplicemente costruendo, mediante le normali, il centro istantaneo di rotazione secondo il metodo di Chasles.
Torniamo alla nostra striscia di carta, i cui due punti A e B, a distanza l l’uno dall’altro, percorrono due assi perpendicolari (vedi figura I).
All’istante t, il centro istantaneo di rotazione I(t) si trova sulla perpendicolare a (Ox) in B e sulla perpendicolare a (Oy) in A. Il quadrilatero OAIB è un rettangolo, le cui diagonali hanno lunghezza fissa l: il luogo geometrico del centro istantaneo di rotazione I nel piano fisso F è la circonferenza *CF di centro O e raggio l. Questa circonferenza CF* è la base.
La circonferenza R(t) di diametro l e centro P(t), punto d’incontro delle diagonali del rettangolo OAIB, è tangente in I alla circonferenza *CF. Nel piano mobile M della striscia di carta, questa circonferenza è il luogo geometrico del centro istantaneo di rotazione I(t). È la rulletta del moto: la circonferenza R(t) rotola senza slittare sulla circonferenza CF. Il luogo del punto P (t) nel piano fisso è la circonferenza di centro I e raggio l/*2 (figura II).
####
Diversi aspetti della cinematica della striscia di carta. (I) Configurazione iniziale: durante il moto del piano mobile legato alla striscia di carta, il punto A si muove lungo (Oy) e il punto B lungo (Ox). (II) L’inviluppo della retta (AB) è un’astroide. (III) Durante il moto della striscia, il punto K, punto medio di [AB], si muove su una circonferenza e il punto J lungo l’asse delle x: questa configurazione è detta mosca di La Hire. (IV) Dimostrazione geometrica del fatto che un punto K della retta (AB) si muove lungo un’ellisse.
Il punto J della figura III, intersezione della circonferenza R(t) con l’asse (Ox), si muove lungo l’asse (Ox), mentre K si muove sulla circonferenza *CK. KJ = l / 2. È stato costruito un ingranaggio, detto mosca di La Hire*, dal nome dell’astronomo e matematico francese Philippe de La Hire (1640-1718). Questo ingranaggio trasforma il moto circolare di un punto K nel moto rettilineo del punto J (un’animazione è disponibile online). In passato è stato molto studiato nei sistemi biella-manovella delle locomotive.
Dimostriamo nuovamente per via geometrica che il luogo geometrico del punto K, situato sul segmento [AB] della striscia di carta dello schema IV, è un’ellisse. Poniamo AK=α e KB=β. Completiamo il parallelogramma OAKL con il punto L. Durante il moto, il punto L si muove sulla circonferenza *CL di centro O e raggio α. Applicando il teorema di Talete, KE / KL = KE / AO = KA / KB = α / β. Quindi il punto K si ottiene dal punto L mediante un’affinità ortogonale di asse (Ox) e rapporto α / β. Il luogo geometrico di K è l’ellisse che si ottiene dalla circonferenza CL* mediante questa affinità.
La geometria è quasi del tutto assente dai programmi scolastici, e la cinematica lo è completamente. Forse è un peccato: questa disciplina offriva un’interessante visione dinamica dei problemi geometrici. Il nostro ministro dell’Istruzione nazionale vuole una matematica «che abbia senso e sia ancorata al reale». Il moto piano su piano non è forse un approccio «sensato» alla geometria?