Rapporti armonici --------------------
Erano gli anni del baby boom. Lo scoglio classico della geometria al secondo anno di liceo consisteva nel determinare il luogo dei punti M del piano tali che, dati due punti fissi A e B, il rapporto MA / MB fosse costante e uguale a k. A quei tempi remoti, sadici esaminatori ponevano questa domanda all’orale della prima parte del bac, garanzia di un’inevitabile catastrofe. Naturalmente, per via analitica si trova l’equazione del luogo: MA2 = k 2MB2. Per i punti A(−a-a, 0) e B(aa, 0), sviluppando si ottiene un cerchio con centro sulla retta (AB) in
x=ak2+1k2−1x=a\dfrac{k^2+1}{k^2-1}
e raggio
R=2ak∣k2−1∣\text{R}=\dfrac{2ak}{|k^2-1|}.
Cartesio ne sarebbe stato senz’altro soddisfatto, ma non i fautori della geometria sintetica.
In quell’epoca, in cui la geometria regnava sovrana, si dimostrava anzitutto che le bisettrici del triangolo MAB con vertice M intersecavano il lato opposto nei punti I e J, tali che IA / IB = JA / JB = k. Tracciata per B la parallela al lato [AM], basta allora applicare il teorema di Talete ai triangoli AIM e BII' e ai triangoli AJM e BJJ'.
Poiché le bisettrici sono perpendicolari, il luogo cercato è il cerchio CM di diametro [IJ]. La divisione armonica [A, B, I, J] rende armonico il fascio di rette (MA), (MI), (MB), (MJ), ma ciò non veniva preso in considerazione in questa dimostrazione.
Il cerchio CM, luogo del punto M per k fissato, è detto cerchio di Apollonio. Analogamente si costruiscono i cerchi CA e CB con le bisettrici nei vertici A e B. Questi tre cerchi hanno una corda in comune e i loro centri sono allineati sulla retta di Lemoine. Numerose proprietà illustrano così lo spirito geometrico dei matematici della fine del 19º secolo, come Henri Brocard, Émile Lemoine e Joseph Neuberg.
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Il flusso dei poli ------------------
Il campo elettrico creato da un filo rettilineo infinito con densità lineare di carica λ è radiale, per ragioni di simmetria, e ha modulo
E=λ2πϵ0r{\text{E}}=\dfrac{ \lambda}{2\pi \epsilon_0r}
per un punto situato a distanza r dal filo. Il potenziale V associato è dato da
{\text{V}}{(r)}=\dfrac{ \lambda}{2\pi \epsilon_0}{\text{\ln}}(r)+\text{C}
poiché il campo elettrico deriva dal suo potenziale. Se il punto M si sposta su un’equipotenziale, si ha
dV=−E→.dM→=0d \text{V}=-{\overrightarrow{E}}.{\overrightarrow{d\text{M}}}=0.
La linea di campo, alla quale è tangente il campo E→{\overrightarrow{E}}, è dunque ortogonale alla linea equipotenziale.
Se si considerano due fili perpendicolari a uno stesso piano, in A e B, con densità lineari di carica opposte, il potenziale è proporzionale alla quantità ln(r2 / r1 ) in un punto M del piano situato rispettivamente alle distanze r2 e r1 dai fili.
Le equipotenziali saranno dunque le curve per le quali r2 / r1 è costante. Questa è la definizione bipolare dei cerchi di Apollonio, che costituiscono un fascio avente come asse radicale l’asse del segmento [AB] (curve blu). Le linee di campo sono le traiettorie ortogonali (curve rosse) di questo fascio: sono cerchi passanti per A e B, con centro situato sull’asse del segmento [AB].
L’insieme di queste linee costituisce un sistema di coordinate ortogonali parametrizzato da α e β: in un sistema di riferimento che ha come asse delle ascisse la retta (AB) e come asse delle ordinate l’asse del segmento [AB],
x=asin⁡(α)cosh⁡(β)−cos⁡(α)x=a\dfrac{\sin(\alpha)}{\cosh(\beta)-\cos(\alpha)}
e
y=asinh⁡(β)cosh⁡(β)−cos⁡(α)y=a\dfrac{\sinh(\beta)}{\cosh(\beta)-\cos(\alpha)}
dove aa è la metà della distanza fra A e B.
Per α\alpha costante si trovano i cerchi blu, di centro (aa cot(α\alpha), 0) e raggio
α∣sin⁡(α)∣\dfrac{\alpha}{|\sin(\alpha)|}
e, per β costante, il fascio coniugato, avente come asse radicale l’asse delle ordinate, formato dai cerchi rossi di centro (0, aa coth(α\alpha)) e raggio
αsinh⁡(β)\dfrac{\alpha}{\sinh(\beta)}.
Se le densità lineari hanno lo stesso segno, le linee equipotenziali sono tali che il prodotto r1r2 è costante.
Si tratta di ovali di Cassini, le cui curve ortogonali sono iperboli equilaterE.
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