Par l’observation des mouvements du ciel, les pythagoriciens théorisent le monde en plaçant la Terre au centre d’un monde sphérique, la forme la plus parfaite. Très vite, la Terre elle-même devient une sphère et la référence de l’activité mathématique puisque les mathématiciens grecs étaient tous « géomètres », c’est-à-dire des mesureurs de la Terre. Dès lors, ces géomètres grecs n’ont cessé de chercher à mesurer les caractéristiques métriques des objets de leurs observations : longueur, aire, volume.

Se faire les surfaces

Pour comparer deux surfaces, les Grecs construisent à la règle et au compas, pour chaque figure, un carré de même aire. La comparaison de ces carrés permet ensuite une comparaison facile des surfaces. Mais certaines formes résistent à la quadrature, dont le cercle. Les lunules d’Hippocrate de Chio ont permis de réaliser une quadrature particulière qui a longtemps fait accroire à la possibilité de la fameuse quadrature du cercle (voir Le Cercle, Bibliothèque Tangente 36, 2009).
Les géomètres grecs se sont bien sûr intéressés aux aires et volumes des solides, et c’est à Eudoxe de Cnide qu’on doit les premiers résultats et, surtout, une méthode. Par des découpes astucieuses (voir le dossier « Calculs astucieux de périmètres, d’aires et de volumes », Tangente 154, 2013), il estime la grandeur cherchée et montre ensuite géométriquement que le résultat ne peut être ni strictement plus grand, ni strictement plus petit, et qu’il est donc égal à cette estimation. Il calcule ainsi l’aire et le volume du cylindre et du cône que l’on retrouve dans les Éléments d’Euclide. Cette méthode de double raisonnement par l’absurde, ou raisonnement apagogique, est appelée méthode d’exhaustion. Mais dès que le volume est un peu sophistiqué, cette méthode, pour astucieuse qu’elle soit, demande un réel talent géométrique et est donc difficilement généralisable.
Le parangon de l’intégration antique est Archimède (‒287, ‒212). Il établit la circonférence du cercle, ce qui lui permet de faire un encadrement précis de π. Il est le premier à établir que π intervient dans l’aire d’un disque en démontrant, par l’équivalent d’un « passage à la limite », qu’elle est égale à la surface d’un triangle ayant pour base la circonférence du cercle et pour hauteur son rayon.