Osservando i movimenti celesti, i pitagorici teorizzano il mondo collocando la Terra al centro di un universo sferico, la forma più perfetta. Ben presto la Terra stessa diventa una sfera e il riferimento dell’attività matematica, poiché i matematici greci erano tutti «geometri», cioè misuratori della Terra. Da allora, questi geometri greci non cessarono di cercare di misurare le caratteristiche metriche degli oggetti delle loro osservazioni: lunghezza, area, volume.
Prendere le misure delle superfici ---------------------
Per confrontare due superfici, i Greci costruiscono con riga e compasso, per ciascuna figura, un quadrato di uguale area. Il confronto tra questi quadrati consente poi di confrontare facilmente le superfici. Ma alcune forme resistono alla quadratura, fra cui il cerchio. Le lunule di Ippocrate di Chio permisero di realizzare una particolare quadratura che per lungo tempo fece credere possibile la celebre quadratura del cerchio (vedi Le Cercle, Bibliothèque Tangente 36, 2009).
I geometri greci si interessarono naturalmente alle aree e ai volumi dei solidi, e dobbiamo a Eudosso di Cnido i primi risultati e, soprattutto, un metodo. Con tagli ingegnosi (vedi il dossier «Calculs astucieux de périmètres, d’aires et de volumes», Tangente 154, 2013), stima la grandezza cercata e mostra poi geometricamente che il risultato non può essere né strettamente maggiore né strettamente minore, e che dunque è uguale a tale stima. Calcola così l’area e il volume del cilindro e del cono che ritroviamo negli Éléments di Euclide. Questo metodo di doppio ragionamento per assurdo, o raisonnement apagogique, è chiamato méthode d’exhaustion. Ma appena il volume diventa un po’ complesso, questo metodo, per quanto ingegnoso, richiede un vero talento geometrico ed è quindi difficile da generalizzare.
Il modello dell’integrazione antica è Archimede (‒287, ‒212). Determinò la circonferenza del cerchio, ottenendo così una stima precisa di π. Fu il primo a dimostrare che π compare nell’area di un disco, mostrando, attraverso l’equivalente di un «passaggio al limite», che essa è uguale all’area di un triangolo avente per base la circonferenza del cerchio e per altezza il suo raggio.