Erodoto attribuisce l’origine della geometria alla divisione di terre sottratte alle paludi, bonificate e canalizzate sotto il regno del faraone Sesostri II. Allora la geometria era intesa nel suo senso etimologico di misurazione dei terreni e le conoscenze acquisite erano soltanto empiriche. Bisognò attendere il genio greco per giungere a dimostrazioni. All’inizio del 6 º secolo avanti la nostra era, Talete di Mileto non riuscì ad applicare le sue tecniche matematiche a una figura non rettilinea. Nel secolo successivo, detto secolo di Pericle, l’oratore Antifonte considerava il cerchio come un poligono regolare con un’infinità di lati. Questa visione dell’infinito era troppo avanti rispetto al suo tempo e non ebbe seguito.
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Un infinito implicito -------------------
Per principio, i Greci escludevano l’infinito, poiché non può «entrare» in alcun ragionamento. Questo concetto si limitava alla semplice possibilità di proseguire un processo operativo reiterabile senza limiti. Fu così che Ippia di Elide elaborò, verso il –430, il metodo di costruzione della quadratrice, detta di Dinostrato, in un numero infinito di passaggi. L’idea di Antifonte fu tuttavia ripresa da Euclide, che delimitò il cerchio con poligoni regolari circoscritti e inscritti e ne dedusse che l’area del cerchio è proporzionale al quadrato del suo diametro.
Astronomi e fisici, confrontati con la materia, furono forse i primi a immaginare il concetto di infinitamente piccolo. Zenone di Elea concepisce una divisibilità indefinita dei corpi, mentre gli astronomi formulano approssimazioni trascurando alcune quantità. Così Aristarco di Samo, il primo eliocentrista secondo Archimede, considera paralleli i raggi del Sole quando modella mediante un cerchio massimo la separazione tra ombra e luce sulla Luna. In matematica, la teoria degli incommensurabili di Pitagora, studiata da Democrito, può essere considerata un’introduzione di questo concetto. La scuola di Platone sviluppò effettivamente la costruzione delle tangenti, ma essa si applica soltanto alle coniche, e per di più grazie alle proprietà particolari dei loro diametri (vedi FOCUS "I diametri delle coniche"). Per Aristotele, l’infinito può essere soltanto in potenza (il concetto di infinito può essere pensato solo come una possibilità) e non in atto (vale a dire come un oggetto matematico a pieno titolo, manipolabile, sul quale si possano eseguire calcoli aritmetici…) ed è sinonimo di incompiuto. Bisogna infatti attendere Eudosso di Cnido, nel 4 º secolo avanti la nostra era, per un progresso significativo con il metodo di esaustione, termine che implica di prendere tutto in considerazione, fino alla parte più piccola. Il primo testo noto che impiega questo metodo è il dodicesimo libro degli Elementi di Euclide.