Archimede è forse il più grande genio della matematica greca (vedi Tangente 150, 2013). Vissuto nel IIIº secolo avanti la nostra era, trascorse la maggior parte della sua vita nella natia Siracusa, compiendo forse qualche viaggio ad Alessandria e corrispondendo con i matematici del suo tempo per informare la comunità scientifica delle sue scoperte. Di lui si ricordano il grido «Eureka!» e la frase «Datemi un punto d’appoggio e solleverò il Mondo»; queste citazioni, tuttavia, non compaiono nella sua opera e furono riportate da autori assai posteriori (Plutarco e Pappo, nella fattispecie). Si sono invece conservati molti lavori originali, nei quali Archimede dispiega tutto il suo genio: approssimazione e delimitazione di π, calcoli di commensurabilità su un rompicapo (lo Stomachion), variazioni sull’arbelo, quadratura della parabola, rapporto tra i volumi di una sfera e di un cilindro. Era proprio di quest’ultimo risultato che andava più fiero, tanto da chiedere che sulla sua tomba fossero raffigurati una sfera e un cilindro: fu così che Cicerone poté riconoscerlo, dopo che i Siracusani l’avevano dimenticato. Uno dei risultati che forse meglio dimostrano il genio proprio di Archimede è la quadratura della spirale, cioè la determinazione dell’area generata da una spirale nella sua prima rotazione.
Una spirale, ma quale? ----------------------------
La spirale è una curva matematica inventata da Archimede: molte persone avevano tracciato spirali sulla sabbia o sulle pareti delle grotte preistoriche, ma nessuno ne aveva dato una definizione matematica. In Sulle spirali, Archimede ne propone una costruzione cinematica: «Quando una retta ruota uniformemente in un piano, mentre una delle sue estremità resta fissa, e torna alla sua posizione iniziale, se su questa retta in rotazione un punto si muove uniformemente a partire dal punto fisso, il punto descriverà nel piano una spirale.» Questa definizione «pratica» permette di cogliere tutta l’intuizione fisica dei matematici greci, che cominciarono a proporre curve non circolari tracciate grazie a ingegnosi meccanismi come la quadratrice o la concoide (vedi il dossier «Costruzione meccanica delle curve» in Tangente 151, 2013).
Questa definizione non è solo un modo comodo per parlare di una curva: ne consegue direttamente un risultato molto interessante sui «raggi» che si possono tracciare. Infatti, la proposizione 12 del libro Sulle spirali afferma: «Se, a una spirale descritta compiendo una sola rivoluzione qualunque, si tracciano dall’origine della spirale un numero qualunque di rette [segmenti] che formano tra loro angoli uguali, tali rette differiscono l’una dall’altra per la medesima grandezza.» In parole semplici, i raggi tracciati a intervalli angolari costanti sono in progressione aritmetica, e ciò dipende dalla definizione stessa della spirale, nella quale si fa menzione di un moto uniforme (vedi riquadro).