Arquímedes es quizá el mayor genio de las matemáticas griegas (véase Tangente 150, 2013). Vivió en el 3.er siglo antes de nuestra era y pasó la mayor parte de su vida en su Siracusa natal, quizá realizando algunos viajes a Alejandría y manteniendo correspondencia con los matemáticos de su tiempo para informar a la comunidad científica de sus descubrimientos. De él se recuerda el grito «¡Eureka!» o la frase «Dadme un punto de apoyo y levantaré el Mundo»; sin embargo, estas citas no aparecen en su obra y fueron recogidas por autores muy posteriores a él —Plutarco y Papo, en este caso—. En cambio, se conservan muchos trabajos originales en los que Arquímedes despliega todo su genio: aproximación y acotación de π, cálculos de conmensurabilidad sobre un rompecabezas —el Stomachion—, variaciones sobre el arbelo, cuadratura de la parábola, relación entre los volúmenes de una esfera y un cilindro. Este último resultado era del que más orgulloso estaba, hasta el punto de pedir que figurasen una esfera y un cilindro en su tumba; ello permitió a Cicerón reconocerlo, cuando los siracusanos ya lo habían olvidado. Uno de los resultados que quizá mejor demuestra el genio propio de Arquímedes es la cuadratura de la espiral, es decir, la determinación de la superficie engendrada por una espiral durante su primera vuelta.
¿Pero de qué espiral se trata? ----------------------------
La espiral es una curva matemática inventada por Arquímedes: muchas personas habían trazado espirales sobre la arena o en las paredes de cuevas prehistóricas, pero nadie les había dado una definición matemática. En Sobre las espirales, Arquímedes propone una construcción cinemática: «Cuando una recta gira uniformemente en un plano mientras uno de sus extremos permanece fijo y, al regresar a su posición inicial, un punto situado sobre esta recta se desplaza uniformemente desde el punto fijo, dicho punto describirá una espiral en el plano.» Esta definición «práctica» permite captar toda la intuición física de los matemáticos griegos, que empezaron a proponer curvas no circulares trazadas mediante ingeniosos mecanismos, como la cuadratriz o la concoide (véase el dosier «Construcción mecánica de curvas» en Tangente 151, 2013).
Esta definición no es solo una forma cómoda de hablar de una curva: tiene como consecuencia directa un resultado muy interesante sobre los «radios» que pueden trazarse. En efecto, la proposición 12 del libro Sobre las espirales enuncia: «Si, desde el origen de una espiral descrita en una única revolución cualquiera, se trazan rectas [segmentos] en cualquier número y formando entre sí ángulos iguales, estas rectas difieren entre sí en una misma magnitud.» Dicho claramente: los radios trazados a intervalos angulares iguales están en progresión aritmética, y ello se debe a la propia definición de la espiral, en la que se menciona un movimiento uniforme (véase el recuadro).