A partir de la observación de los movimientos celestes, los pitagóricos teorizan el mundo situando la Tierra en el centro de un mundo esférico, la forma más perfecta. Muy pronto, la propia Tierra se convierte en una esfera y en la referencia de la actividad matemática, pues todos los matemáticos griegos eran «geómetras», es decir, medidores de la Tierra. Desde entonces, estos geómetras griegos no dejaron de tratar de medir las características métricas de los objetos que observaban: longitud, área, volumen.
Comprender las superficies ---------------------
Para comparar dos superficies, los griegos construyen con regla y compás, para cada figura, un cuadrado de la misma área. La comparación de estos cuadrados permite después comparar fácilmente las superficies. Pero algunas formas se resisten a la cuadratura, entre ellas el círculo. Las lúnulas de Hipócrates de Quíos permitieron efectuar una cuadratura particular que durante mucho tiempo hizo creer posible la célebre cuadratura del círculo (véase Le Cercle, Bibliothèque Tangente 36, 2009).
Los geómetras griegos se interesaron, por supuesto, por las áreas y los volúmenes de los sólidos, y debemos a Eudoxo de Cnido los primeros resultados y, sobre todo, un método. Mediante ingeniosos recortes (véase el dossier «Calculs astucieux de périmètres, d’aires et de volumes», Tangente 154, 2013), estima la magnitud buscada y demuestra después geométricamente que el resultado no puede ser ni estrictamente mayor ni estrictamente menor, por lo que es igual a esa estimación. Así calcula el área y el volumen del cilindro y del cono que aparecen en los Elementos de Euclides. Este método de doble razonamiento por el absurdo, o razonamiento apagógico, recibe el nombre de método de agotamiento. Pero, en cuanto el volumen se vuelve un poco sofisticado, este método, por ingenioso que sea, exige un auténtico talento geométrico y resulta difícil de generalizar.
Arquímedes (‒287, ‒212) es el paradigma de la integración antigua. Determina la circunferencia del círculo, lo que le permite obtener una acotación precisa de π. Es el primero en establecer que π interviene en el área de un disco demostrando, mediante el equivalente de un «paso al límite», que esta es igual al área de un triángulo cuya base es la circunferencia del círculo y cuya altura es su radio.