Hérodote attribue l’origine de la géométrie au partage de terres gagnées sur des marais, drainés et canalisés sous le règne du pharaon Sésostris II. La géométrie est alors entendue sous son sens étymologique d’arpentage, les connaissances acquises n’étant qu’empiriques. Il faut attendre le génie grec pour que des démonstrations soient établies. Au début du VI e siècle avant notre ère, Thalès de Milet avait échoué à appliquer ses techniques mathématiques sur une figure non rectiligne. Au siècle suivant, dit siècle de Périclès, l’orateur Antiphon considérait le cercle comme un polygone régulier d’une infinité de côtés. Cette vision de l’infini était trop en avance sur son temps et n’eut pas d’écho.
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Un infini implicite -------------------
Par principe, les Grecs excluaient l’infini car il ne peut « entrer » dans aucun raisonnement. Cette notion se limitait à la simple possibilité de poursuivre un processus opératoire pouvant être itéré sans limitation. C’est ainsi qu’Hippias d’Élis établit vers –430 la méthode de construction de la quadratrice, dite de Dinostrate, en un nombre infini d’étapes. L’idée d’Antiphon fut néanmoins reprise par Euclide, qui encadra le cercle par des polygones réguliers circonscrits et inscrits au cercle et en déduisit que l’aire du cercle est proportionnelle au carré de son diamètre.
Astronomes et physiciens, confrontés à la matérialité, ont pu être les premiers à imaginer la notion d’infiniment petits. Zénon d’Elée envisage une divisibilité indéfinie des corps, alors que des astronomes font des approximations en négligeant certaines quantités. Ainsi, Aristarque de Samos, le premier hélio-centriste selon Archimède, considère les rayons du soleil comme parallèles quand il modélise la séparation ombre / lumière sur la lune par un grand cercle. En mathématiques, on peut estimer la théorie des incommensurables de Pythagore, étudiée par Démocrite, comme une introduction de cette notion. L’école de Platon a bien développé la construction de tangentes, mais qui ne s’applique qu’aux coniques, et encore grâce aux propriétés particulières de leurs diamètres (voir FOCUS "Les diamètres des coniques"). Pour Aristote, l’infini ne peut être qu’en puissance (le concept d’infini ne peut être pensé que comme un possible) et non en acte (à savoir, un objet mathématique à part entière, qui pourra être manipulé, sur lequel on pourra effectuer des calculs arithmétiques…) et est synonyme d’inachevé. Il faut en fait attendre Eudoxe de Cnide au IV e siècle avant notre ère pour une avancée significative avec la méthode d’exhaustion, terme qui implique de tout prendre en compte, jusqu’à la plus petite partie. Le premier texte connu qui utilise cette méthode est le douzième livre des Éléments d’Euclide.