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Les mathématiques peuvent-elles aussi sauver des vies ? La pandémie de Covid-19 a surpris par sa virulence mais également par la rapidité de sa propagation. De nombreuses statistiques, parfois contradictoires, ont été publiées. Les modèles mathématiques permettent d'appréhender, de comprendre, d'étudier, de prédire les phénomènes qui nous entourent. Mais quel peut être leur apport alors que tant d'inconnues subsistent ? En quantifiant et expliquant leurs conséquences directes sur la propagation, les modèles justifient-ils certaines mesures à prendre, si pénibles soient-elles ? Les outils mathématiques utilisés pour appréhender la complexité du vivant ne restent que des approximations qui peuvent mettre sur des pistes explicatives, mais ne pourront remplacer une réelle compréhension des phénomènes. L'alliance des mathématiques et des autres sciences permettra, espérons-le, de prendre les bonnes décisions.

Depuis l'aube des temps, des dizaines de milliers d'énigmes mathématiques ont été imaginées, dont une grande partie continue de passionner ceux qui s'investissent dans la recherche de leurs solutions. Ces dernières provoquent un véritable enthousiasme quand le raisonnement est étonnant, quand il fait appel à des analogies inattendues, quand il met en évidence une information cachée. Comment l'auteur de problèmes de mathématiques peut-il faire preuve de créativité au point de motiver tant d'engouement ? Comment peut-il se renouveler alors que tant de sujets ont été abordés ?

Au tournant du XX e siècle, l'algébriste Kurt Hensel a eu l'intuition géniale qui a conduit à l'invention des nombres p-adiques. Le système ainsi obtenu a de quoi dérouter : plus besoin de signe « moins », nécessité de développer une nouvelle forme de proximité entre les nombres, apparition d'une topologie étonnante, et surtout… des applications profondes dans tous les domaines des mathématiques ! L'écriture elle-même de ces nombres, différente selon les approches (on peut même les écrire avec des « décimales à gauche »), a de quoi surprendre. Ainsi, on représente un nombre négatif comme –1 à l'aide d'une infinité de chiffres ou comme la somme d'une série qu'on pourrait croire divergente. Une véritable poésie des nombres !

Au tournant du XX e siècle, l'algébriste Kurt Hensel a eu l'intuition géniale qui a conduit à l'invention des nombres p-adiques. Le système ainsi obtenu a de quoi dérouter : plus besoin de signe « moins », nécessité de développer une nouvelle forme de proximité entre les nombres, apparition d'une topologie étonnante, et surtout… des applications profondes dans tous les domaines des mathématiques ! L'écriture elle-même de ces nombres, différente selon les approches (on peut même les écrire avec des « décimales à gauche »), a de quoi surprendre. Ainsi, on représente un nombre négatif comme –1 à l'aide d'une infinité de chiffres ou comme la somme d'une série qu'on pourrait croire divergente. Une véritable poésie des nombres !

En plus de certains de ses travaux mathématiques, nous sont parvenus quelques documents qui nous renseignent sur la pensée du jeune Galois : fragments de textes retrouvés dans ses notes, articles contestataires qui dénoncent le fonctionnement de l’institution scolaire, cahiers qui exposent ses premières recherches… C’est le cas également de ses productions scolaires : certaines n’ont été étudiées que récemment, et d’autres restent inédites !

Certains grands problèmes d'optimisation possèdent une solution algorithmique efficace. C'est le cas quand il s'agit de trouver le plus court chemin parmi un nombre immense de possibilités, de faire transiter un flot (d'électricité, d'eau, d'information…) dans un réseau ou de résoudre un programme « linéaire », ne nécessitant pas d'énumérer toutes les solutions potentielles. Ces questions ont le bon goût d'appartenir à la classe P des problèmes qui peuvent être résolus en temps « raisonnable » (parfois polynomial). Les algorithmes associés, dont certains, comme le simplexe, sont classés parmi les dix plus importants du xxe siècle, ont gravé le nom de leur découvreur dans l'histoire de l'informatique : Dijkstra, Ford et Fulkerson, Bellman…

L'étude du mouvement des astres illustre la transformation du rapport aux mathématiques qu'ont eue les physiciens. Après la méthode synthétique de Newton, la méthode analytique de Lagrange, exploitant la puissance du calcul intégral, a donné naissance à la théorie des équations différentielles. Un siècle plus tard, sous l'inspiration d'Henri Poincaré, le même problème portera les prémisses des systèmes dynamiques.

Que nous apportent les vecteurs et les espaces vectoriels au-delà d'une présence, comme toutes les structures mathématiques, un peu partout autour de nous ? Une ouverture et un enrichissement de notre approche de nombreux domaines, illustrés par quelques exemples saisissants, où ce changement a opéré une véritable révolution, accentuée par l'avènement de puissants outils de calcul ! Le « dessin vectoriel » en matière de graphisme, les sommes faramineuses de textes ou de corpus en littérature… Et Yannis Xenakis en personne a même ouvert la voie à d'intéressantes techniques « vectorielles » en matière de composition musicale…

Blaise Pascal voyait la géométrie comme le plus beau des métiers. Séduit dès son plus jeune âge par les classiques de la littérature mathématique que lui confiait son père, il en fait son miel jusqu’à produire lui-même des résultats nouveaux. Il développe aussi de nouvelles façons de raisonner en démontrant plusieurs propriétés par récurrence, un fait nouveau à l’époque. Arithmétique, coniques, genèse des probabilités et de la combinatoire : tous les domaines ont attiré le prodige clermontois.

Tout comme un mot est composé de lettres, un nombre est constitué de chiffres. Notre système décimal de position (qui utilise donc dix chiffres dont la position dans l’écriture du nombre a son importance) est une manière — assez puissante — de représenter un nombre. Mais quels effets peut-on obtenir en manipulant cette suite de chiffres ? La créativité apportée par certains dans la recherche de réponses à cette question ouvre la porte d’un nouvel univers. Vous y découvrirez des nombres heureux, narcissiques ou palindromes, les notions de persistance, quelques propriétés intrigantes des nombres premiers... et plein d’autres curiosités.