Définissons ainsi une application f par : si abcd … est l’écriture de l’entier n, f (n) est égal au produit a b × c d... Quand n possède un nombre impair de chiffres, le dernier chiffre de f(n) n’a pas d’exposant et, par convention, on pose 00 = 1.
On a ainsi f (2564) = 25 × 64 = 41 472 et f (23417) = 23 × 41 × 7 = 224. En itérant cette application, on aboutit toujours à des nombres à un chiffre, lesquels sont des points fixes de f.
Ainsi, f (2564) = 41 472, f (41 472) = 131 072 et f (131 072) = 0.
De même f (23417) = 224, f (224) = 16 et f (16) = 1. En fait, ce n’est pas toujours vrai ! Il y a des exceptions, car il y a d’autres points fixes, deux connus en l’occurence. On conjecture qu’il n’y en a pas d’autres. La recherche a été faite jusqu’à 10100.
Ces deux points fixes sont : 2592 = 25 × 92 et
24 547 284 284 866 560 000 000 000 = 24 × 54 × 72 × 84 × 28 × 48 × 66 × 56 car n’oublions pas que 00 = 1.
On peut aussi aboutir sur ces points fixes :
par exemple f (45 756) = 103 262 208 et f (103 262 208) = 2592.
C’est John Conway (voir « Le génie de John Conway », Tangente n°194, 2020) qui a introduit cette application f et ses itérées en 2007. Il les a appelées des trains de puissances.
Il a aussi introduit une autre application en 2014, en quelque sorte sa réciproque. Notée g, si la décomposition d’un entier n en facteurs premiers est ab × c d…, l’image g(n) est égal à abcd … Par exemple, g (12) = g (22 × 3) = 223. Les nombres premiers, ainsi que 1, sont donc des points fixes de g. Bien sûr, on regarde aussi ce qu’il se passe quand on réitére l’application g. Dans l’exemple précédent, on s’arrête là car 223 est est un nombre premier, donc g (223) = 223. Si on part de 9 = 32, on passe par les valeurs 32, 25, 52 pour s’arrêter sur 2213 qui est premier. Conway a conjecturé qu’on aboutissait toujours sur un nombre premier.
Mais, en 2017, James Davis a trouvé un point fixe qui n’est pas premier.
Il s’agit de l’entier 13 532 385 396 179 = 13 × 532 × 3853 × 96179 ! La conjecture est donc fausse.
