Aplicar un cálculo a un dato y volver a aplicarlo al resultado obtenido: he aquí un procedimiento antiguo y omnipresente en matemáticas. ¿No es la multiplicación la repetición de una suma? ¿Y la potenciación, la repetición de una multiplicación? Poco después del nacimiento de la escritura ya se encuentran vestigios de la resolución aproximada de problemas, por ejemplo del cálculo de una raíz cuadrada. La precisión de los resultados obtenidos entonces, sin máquinas y sin un sistema de numeración tan cómodo como el nuestro, sigue asombrando y hace pensar que ya estaban en funcionamiento procesos iterativos eficaces. Más tarde, entre los matemáticos griegos, se percibe un nuevo avance en el arte de repetir: ya no se limitan a repetir un cálculo, sino que repiten también un razonamiento, una demostración, para deducir de ello una verdad general sobre el conjunto infinito de los números enteros.
Una forma de pensar -----------------
Algunos historiadores de la ciencia, como Jean Itard (1902-1979), ven en ciertas demostraciones de Euclides los primeros ejemplos de razonamiento por inducción. Blaise Pascal formulará este procedimiento de forma tan directa como clara (véase el artículo *Blaise Pascal à l'assaut de la récurrence*). Más tarde, hacia finales del 19.º siglo, se establece sin rodeos el vínculo con la naturaleza profunda de los números enteros y con su construcción axiomática iterativa. El razonamiento por inducción se convierte entonces en el « razonamiento matemático por excelencia », como explica Henri Poincaré en la Science et l’Hypothèse. El más célebre de los sabios loreneses subraya en particular que « el carácter esencial del razonamiento por inducción es que contiene, condensados por así decirlo en una fórmula única, una infinidad de silogismos […]; es un instrumento que permite pasar de lo finito a lo infinito ».