Appliquer un calcul à une donnée puis l’appliquer de nouveau au résultat obtenu, voilà bien une démarche ancienne et omniprésente en mathématique. La multiplication elle-même n’est-elle pas la répétition d’une addition ? Et l’exponentiation la répétition d’une multiplication ? Peu de temps après la naissance de l’écriture, on trouve déjà des traces de résolution approchée de problème, par exemple le calcul d’une racine carrée. La précision des résultats obtenus alors sans machine et sans système de numération aussi commode que le nôtre étonne encore et laisse penser que des processus itératifs efficaces étaient déjà à l’œuvre. Plus tard, chez les mathématiciens grecs, on perçoit alors l’émergence d’un saut supplémentaire dans l’art de répéter : on ne se limite plus à la répétition d’un calcul, mais on répète aussi un raisonnement, une démonstration, pour en déduire une vérité générale sur l’ensemble infini des nombres entiers.
Un mode de pensée -----------------
Certains historiens des sciences comme Jean Itard (1902-1979) voient dans certaines démonstrations d’Euclide les premiers exemples de raisonnement par récurrence. La rédaction formalisée de la démarche sera aussi franche que limpide chez Blaise Pascal (voir article *Blaise Pascal à l'assaut de la récurrence*). C’est ensuite vers la fin du XIXe siècle que le lien avec la nature profonde des nombres entiers et leur construction axiomatique itérative est établi sans détour. Le raisonnement par récurrence devient alors le « raisonnement mathématique par excellence » comme l’explique Henri Poincaré dans la Science et l’Hypothèse. Le plus célèbre des savants lorrains souligne en particulier que « le caractère essentiel du raisonnement par récurrence, c’est qu’il contient, condensés pour ainsi dire en une formule unique, une infinité de syllogismes […] ; c’est un instrument qui permet de passer du fini à l’infini ».