Todo empieza con la cifra 1. Decidamos construir una sucesión duplicando en cada paso el último número obtenido: obtenemos 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1 024, 2 048, 4 096, 8 192, 16 384, 32 768, 65 536…, es decir, la sucesión de las potencias de 2. ¡Un clásico!
Introduzcamos ahora una «regla de interrupción» en este proceso: la sucesión se detiene en cuanto un término contiene al menos una cifra repetida. Es el caso de 65 536, que incluye dos «5» (y también dos «6»). La sucesión se interrumpe en seco. Fijemos una «regla de reanudación»: la sucesión prosigue con el número que se obtiene al borrar del último término —aquí, 65 536— todas las cifras repetidas. Seguimos, pues, con 3, y la sucesión pasa a ser 65 536, 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, 768, 1 536, 3 072, 6 144 (interrupción), 61 (reanudación), 122 (interrupción), 1 (reanudación), término que nos devuelve al inicio del procedimiento.
Salir de los bucles ----------------------
Este tipo de bucle es divertido y ya plantea algunas cuestiones aritméticas (¿cómo caracterizar las sucesiones que acaban formando un bucle? ¿cuál es la longitud media de una sucesión que acaba formando un bucle?). Pero la manera más elemental de escapar de los bucles consiste en introducir otra regla de reanudación: tras una interrupción, decidamos reiniciar la sucesión con el menor término ausente de ella. Así, el sucesor de 65 536 es 3 (puesto que 1 y 2 ya figuran en la sucesión), y llegamos después a 6 144, como antes, pero, en lugar de continuar con 61, seguiremos con 5, que en ese momento es el menor término ausente de la sucesión. Obtenemos 6 144, 5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640, 1 280, 2 560, 5 120, 10 240 (interrupción por los dos «0»), 7 (el menor entero que no figura en la sucesión), 14, 28, 56, 112 (interrupción), 9 (reanudación), 18… Tenemos la garantía de no caer en un bucle siempre que aceptemos que el término que relanza la sucesión pueda contener a su vez cifras repetidas. Así se recorrerán todos los números naturales, al menos una vez.
Definidas en homenaje al estadounidense Stephen Wolfram, las reglas de Marflow (palíndromo de «Wolfram») se aplican a toda sucesión definida de forma multiplicativa: decidimos detenerla cuando aparece —en el resultado de la última multiplicación— una cifra concreta. Así, la sucesión M173 (véase ****) comienza con 1, avanza multiplicando cada vez su último término por 7 y se detiene en cuanto aparece un 3 (de ahí su nombre). La regla de reanudación consiste también aquí en prolongar la sucesión con el menor número ausente de M173, aunque este contenga un 3: M173 = 1, 7, 49, 343 (interrupción), 2 (menor entero aún no escrito), 14, 98, 686, 4 802, 33 614 (interrupción), 3 (reanudación e interrupción), 4 (reanudación), 28, 196, 1 372, 5, 35, 6, 42, 294, 2 058, 14 406, 100 842, 705 894, 4 941 258, 34 588 806, 8, 56, 392, 9, 63, 10, 70, 490, 3 430, 11, 77, 539, 12, 84, 588, 4 116, 28 812, 201 684, 1 411 788, 9 882 516, 69 177 612, 484 243 284, 13, 15…