El cálculo mental exige a menudo una buena dosis de oportunismo. Tomemos 51 × 49. Para hallar fácilmente el resultado, podemos observar que 51 = 50 + 1 y que 49 = 50 – 1, y usar así una identidad notable: (50 + 1)(50 – 1) = 50 2 – 12, mucho más fácil de calcular. (Es decir, 2 500 – 1 = 2 499.)
El truco se extiende sin dificultad a cualquier multiplicación entre dos números enteros a y b cuya diferencia a – b sea un número par (aunque puede adaptarse a los impares): si llamamos m a la media de ambos números (esto es, m = (a + b)/2) y d a su semidiferencia (esto es, d = (a – b)/2), obtenemos a × b = (m + d )(m – d ) = m 2 – d 2.
Si, como en nuestro ejemplo anterior, m2 resulta fácil de calcular y d no es demasiado grande, podemos tomar m2 como primera aproximación antes de afinar restando d 2. Por ejemplo, para 64 × 56, diremos « esperad… es un poco menos de 3 600… » mientras efectuamos mentalmente la operación 3 600 – 16 = 3 584.
La cabeza llena de cuadrados
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Como sugiere el truco anterior, los cuadrados perfectos son una de las primeras cosas que hay que aprender para el cálculo mental, después de las tablas de multiplicar. Por ejemplo, conocer el valor de 632 abre la puerta, mediante la identidad notable, al cálculo rápido de las multiplicaciones de la forma (63 + b)(63 − b). Pero, si nuestra memoria no llega tan lejos, ¿cómo hallar el cuadrado de un número como 63?
Un método bien adaptado a los números de dos cifras, es decir, de la forma
n = 10a + b, donde a y b son números enteros entre 0 y 9, se basa en la siguiente relación algebraica, fácil de comprobar:
(10a + b)2 = (10a + 2b) × a × 10 + b2, que conviene escribir como n2 = (n + b) × a × 10 + b2.
En la práctica, para calcular 632, efectuamos entonces 632 = (63 + 3) × 6 × 10 + 32. En términos de multiplicación, este último cálculo solo requiere una multiplicación por una cifra (6, pues la multiplicación por 10 es trivial, y el cuadrado de b es fácil de hallar porque b tiene una sola cifra).
El truco funciona en todos los casos (y puede adaptarse a números con más cifras), pero cuando la cifra de las unidades es mayor que 5 puede mejorarse un poco usando en su lugar la igualdad n2 = (n – b' ) × (a + 1) × 10 + b' 2, donde b' = 10 − b.
El método Trachtenberg
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Jakow Trachtenberg fue un ingeniero judío internado varias veces en campos de concentración durante la Segunda Guerra Mundial. Allí inventó, para pasar el tiempo, un método de cálculo mental para las multiplicaciones. Cada una (por 3, por 4, etc.) tiene su regla específica; veamos aquí el caso de la multiplicación de un número n por 7. Se empieza añadiendo un 0 a la izquierda de la escritura decimal de n, y después se aplica la regla: « duplicar cada cifra, sumarle 5 si era impar y añadir la mitad de la cifra situada a su derecha en el número inicial (redondeando hacia abajo, si es necesario) ». Veamos el ejemplo de la multiplicación por 7 de 294, que escribimos primero como 0 294. Empezamos duplicando el 4, lo que da 8 como cifra de las unidades (y no hay cifra a su derecha). Doblamos después el 9 y sumamos 5 (puesto que 9 es impar), y luego añadimos 4/2 = 2, lo que da 25: la cifra de las decenas es, por tanto, 5 (el 2 constituye una llevada). A continuación efectuamos 2 × 2 + [9/2] + 2 (este último 2 es nuestra llevada), lo que da 10: la cifra de las centenas es, por tanto, 0 (con una llevada de 1). Por último, aplicamos el mismo procedimiento al 0, lo que da 0 × 2 + 2/2 + 1 = 2, por lo que la cifra de los millares es 2. Obtenemos así que 294 × 7 = 2 058.
