Herón para aproximar raíces cuadradas

Para calcular $\sqrt{50}$, un primer método consiste en observar que $50=2\times 5^2$, por lo que $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$.

Ahora bien, la raíz cuadrada de 2 forma parte de las constantes de las que a menudo resulta útil conocer algunas cifras decimales; digamos 1,41 para simplificar. Basta entonces multiplicar por 5 para obtener una aproximación razonable. Para multiplicar por 5, podemos empezar multiplicando por 10 y dividir después entre 2, lo que da fácilmente 7,05. Observemos de paso que, con este método, habría resultado curiosamente más sencillo trabajar con la aproximación 1,414 de $\sqrt{2}$, que habría dado sin dificultad 7,07, un resultado a la vez más preciso y sin llevadas. ¡Quién lo diría! El cálculo mental exige a veces saber aprovechar las oportunidades.

Volvamos a $\sqrt{50}$ y «olvidemos» el truco anterior —que no se presenta siempre— para buscar un procedimiento más general. Lo primero que hay que hacer es acotar $\sqrt{50}$ a partir de los primeros cuadrados perfectos. Conocer una buena lista de ellos es, en cualquier caso, un requisito previo para quien quiera desarrollar sus capacidades de cálculo mental.

Esta tabla permite preparar el terreno incluso para raíces cuadradas de números mayores, mediante operaciones con potencias de 10. Por ejemplo, podemos observar que $\sqrt{\mathrm{150 000}}$ es un poco menor que 400, puesto que: