Si quatre stylos coûtent 2,42 €, combien coûtent quatorze stylos ? Cette question est empruntée à une émission de télévision dans laquelle on avait voulu tester le ministre de l’Éducation nationale du moment. Celui-ci avait dû reconnaître qu’il ne savait pas répondre… La solution donnée par l’animatrice consistait d’abord à « revenir à l’unité » en calculant qu’un stylo unique coûte 2,42 / 4 = 0,605 €, puis à multiplier par 14 pour obtenir la réponse : 8,47 €. C’est une application de la fameuse règle de trois, qui repose sur le principe des grandeurs proportionnelles. Le vénérable manuel scolaire de Troisième de Monge et Guinchan de 1959 les définit ainsi : « deux grandeurs sont proportionnelles si lorsqu’on multiplie (ou divise) la mesure de l’une par 2, 3, 4, …, la mesure correspondante de l’autre est multipliée (ou divisée) par 2, 3, 4, … ». Dans notre problème, les grandeurs proportionnelles considérées sont le nombre de stylos d’une part, le prix total de l’autre. Euclide le disait un peu différemment : les rapports de deux mesures d’une même grandeur sont égaux aux rapports des mesures correspondantes de l’autre. De tels rapports sont des nombres sans unité.
Avec les fonctions linéaires
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Une situation de proportionnalité met en correspondance une grandeur et une autre : depuis le XVIIe siècle, une telle correspondance est envisagée comme une fonction d’une variable, plus précisément une fonction agissant par multiplication par un terme constant, le coefficient de proportionalité. Ainsi, si x est le nombre de stylos, la fonction f définie par f (x) = 0,605x donne le prix de ces x stylos. Une autre propriété est évidente : à la somme des valeurs de la première grandeur (stylos) correspond la somme des valeurs associées (prix).
On peut faire une représentation graphique en portant le nombre de stylos en abscisse et le prix en ordonnée, pour obtenir un ensemble de points alignés selon une (demi-)droite qui passe par l’origine.
