Fractions

Pour parler de fractions, on commence souvent par évoquer l’idée de partage équitable. Pourtant, même en s’en tenant à leur définition courante, cette approche ne rend pas justice à la richesse et la variété des usages que l’on peut en faire, qui vont de la définition de nos notes de musique au maniement des engrenages. De son côté, le théorème de Thalès rend la géométrie tout autant friande de fractions. Les fractions dites égyptiennes, c’est-à-dire celles de numérateur 1, semblent avoir été les premières à avoir été envisagées. Leur nom à lui seul indique que leur âge se compte en millénaires, et l’on doit peut-être l’expliquer par le fait qu’en quelque sorte un tiers, un quart, un cinquième, et plus généralement un nième sont les fractions premières, dont toutes les autres se déduisent par simple multiplication par un entier.

Une tendance fréquente au sujet de la valeur 1/2 est de vouloir à tout prix l’écrire sous la forme 0,5. La valeur 1/3, dont l’expression décimale n’a pas de fin (0,333…), offre pourtant un exemple simple de la supériorité de la notation fractionnaire sur la notation décimale, du moins dans un contexte mathématique. Le développement décimal n’a toutefois pas dit son dernier mot, car celui d’une fraction est toujours périodique, donc s’exprime aussi sous une forme finie, même si c’est à sa manière. D’autre part, il existe un vaste ensemble de nombres, tels √2 ou π, qu’on ne peut pas exprimer sous la forme a/b (avec a et b entiers). Malgré cet échec à représenter tous les réels, les fractions n’en demeurent pas moins un outil crucial pour explorer le concept fondamental de proportionnalité, dans lequel s’entremêlent notions mathématiques et pédagogie scolaire.

Elles continuent, les fractions ! Fondamentalement cantonnées à l’ensemble des nombres rationnels, elles parviennent pourtant à s’en échapper lorsqu’on les laisse poursuivre à l’infini. En la matière, il existe de multiples façons de faire. L’une d’elles consiste à en ajouter encore et encore, pour s’approcher le plus en plus de nombres irrationnels comme π. Une seconde possibilité consiste à disposer les fractions dans un arbre binaire pour les obtenir toutes. Enfin, procédé majeur, des techniques algébriques ou arithmétiques permettent de constituer des fractions de fractions, qui se poursuivent à l’infini et définissent ainsi les fractions… continues.