À l’infini sans se presser

Considérons les nombres 1, puis 1+ 1/2, puis 1 + (1/2) + (1/3), puis 1 + (1/2) + (1/3) + (1/4), et ainsi de suite. On les appelle les nombres harmoniques, et on les note H_n. On a ainsi H₁ = 1, puis H₂ = 3/2, puis H₃ = 11/6, etc.

Bien sûr, plus on va loin dans la suite plus les nombres augmentent, en vertu de la relation H_n+1 = H_n + 1/(n + 1). En revanche, la croissance n'est pas rapide, comme l'illustre la liste ci-contre qui donne la partie entière de quelques nombres harmoniques. (À chaque fois, le n est le plus petit possible tel que H_n dépasse l'entier indiqué.) Comme on le voit, il faut aller jusqu'à H₄ pour dépasser 2, jusqu'à H₁₁ pour dépasser 3, jusqu'à H₃₁ pour dépasser 4… et jusqu'à H_{40 427 833 596} pour dépasser 25 !

Même si les nombres harmoniques ne sont pas pressés, ils tendent quand même vers l'infini. La première démonstration de ce résultat, sans doute la plus connue, date du XIV^e siècle (voir encadré).