La discontinuidad
En ruptura con la búsqueda de regularidad en los fenómenos científicos, el interés por las funciones discontinuas apareció repentinamente a principios del siglo XIX con el estudio de las series de Fourier. Una mayor rigurosidad se impuso entonces para definir los conceptos de función, de continuidad, de derivabilidad. Riemann, Lebesgue, Darboux y otros propusieron ejemplos de funciones monstruosas para justificar el interés de las teorías que habían elaborado, abriendo el campo a nuevos enfoques de la física e incluso de la economía.
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La aparición de las funciones discontinuas
Hasta comienzos del siglo XIX, todo parecía continuo. Con las series trigonométricas, las funciones discontinuas entraron en escena. Llevaron a Riemann a generalizar la noción de integral, impulsaron a Weierstrass a precisar la noción de continuidad y condujeron a Darboux a estudiar las funciones derivadas.
Discontinuidades de todo tipo
Se las ha calificado de «patológicas»; Henri Poincaré hablaba de «monstruos» y las acusaba de ser «funciones extrañas que se esfuerzan por parecerse lo menos posible a las honradas funciones que sirven para algo». Sin embargo, algunas funciones discontinuas han dejado huella en la historia.
Discontinuidades y series de funciones
La introducción de las series de funciones y, después, de los teoremas que justifican la conservación en el límite de las propiedades de continuidad o derivabilidad permitió construir objetos con propiedades insólitas, que desafían la intuición. ¡Algunos científicos célebres se divirtieron de lo lindo!
El fenómeno de Gibbs
Al comprimir una imagen, no solo se vuelve ligeramente borrosa, sino que, en las zonas de contraste, aparece una acentuación de la discontinuidad. Este fenómeno recibe el nombre de fenómeno de Gibbs, y para comprenderlo hay que recurrir a la descomposición de una onda en armónicos.
Las distribuciones:
La idea de discontinuidad queda ilustrada de forma emblemática por dos «funciones» que llevan los nombres de los físicos Heaviside y Dirac. Un problema económico brinda la oportunidad de presentar intuitivamente los elementos fundamentales de la teoría matemática subyacente.