In **due articoli*, si è fatto cenno a un algoritmo ideato da Jorgen Gram ed Erhard Schmidt. Data una base qualsiasi di uno spazio vettoriale euclideo E, questo metodo permette di costruire una nuova base, questa volta ortonormale, tale che a ogni passaggio il sottospazio vettoriale generato dai k* primi vettori della prima base coincida anche con quello generato dai primi k vettori della seconda.
Per costruire anzitutto questa base ortogonale {L0, L1, L2, L3, …}, il metodo di Gram-Schmidt si basa sulla ricorrenza. Mettiamola in pratica con l’esempio della costruzione dei polinomi di Legendre a partire dalla base {1, x, x2, x3, …, *xn*}.
Si suppongono costruiti gli elementi L*i della base per i compreso tra 1 e n – 1 e si cerca Ln come somma del monomio xn* e di una combinazione lineare di L0, L1… L*n*–1. I coefficienti si determinano imponendo che il polinomio L*n* sia ortogonale a L0, L1… L*n*–1.
Passo dopo passo, si ottengono L0(x) = 1, L1(x) = x, L2(x) = x2 – 1 / 3 e L3(x) = x3 – 3x / 5…
Dividendo questi polinomi per la loro norma, si ottiene una base ortonormale.
