En **dos artículos*, se mencionó un algoritmo ideado por Jorgen Gram y Erhard Schmidt. Dada una base cualquiera de un espacio vectorial euclídeo E, este método permite construir una nueva base, ortonormada esta vez, de modo que, en cada etapa, el subespacio vectorial generado por los k* primeros vectores de la primera base sea también el generado por los de la segunda.
Para construir esta base ortogonal {L0, L1, L2, L3, …}, el método de Gram-Schmidt se basa en un razonamiento por recurrencia. Apliquémoslo al caso de la construcción de los polinomios de Legendre a partir de la base {1, x, x2, x3, …, *xn*}.
Supongamos construidos los elementos L*i de la base para i = 1, 2… n – 1, y busquemos Ln como suma del monomio xn* y de una combinación lineal de L0, L1… L*n*–1. Los coeficientes se determinan imponiendo que el polinomio L*n* sea ortogonal a L0, L1… L*n*–1.
Progresivamente, se obtiene L0(x) = 1, L1(x) = x, L2(x) = x2 – 1 / 3 y L3(x) = x3 – 3x / 5…
Al dividir estos polinomios por su norma, se obtiene una base ortonormada.
