El poder del razonamiento matemático ofrece a veces un consuelo sólido, incluso en los ámbitos más inesperados. Ante los estragos de la Covid-19, en tiempos difíciles e inciertos, una visión racional, basada en hipótesis realistas, aporta respuestas fundamentadas a algunas de las preguntas que todos nos planteamos. Aunque nadie puede abarcar todas las consecuencias sociales y económicas de la pandemia que nos azota en estos momentos, recurrir a la modelización del fenómeno resulta sumamente valioso, pues permite explicar o justificar ciertas medidas adoptadas, como el confinamiento o la cuarentena. Ciertamente, recurrir a la modelización —y, por tanto, a una forma de simplificación— siempre implica una serie de hipótesis simplificadoras cuya validez no está necesariamente establecida. Conviene tenerlo en cuenta al extraer conclusiones y durante la toma de decisiones. Esto es aún más cierto en un fenómeno epidemiológico como la Covid-19, para el que incluso hoy resulta prácticamente imposible disponer de datos fiables o exhaustivos.
El modelo SIR
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Hasta la fecha se han desarrollado varios modelos epidemiológicos. Los más elementales son los modelos compartimentales, que ya arrojan una luz especialmente interesante sobre determinados aspectos del fenómeno pandémico que estamos viviendo. El modelo SIR pertenece a esta categoría.
Consideremos un grupo de individuos que constituye una población P de tamaño n, con n «grande». En un primer momento, suponemos que no existe inmunidad inicial alguna en P. Así ocurría precisamente con la Covid-19: no había ninguna vacuna disponible cuando apareció y los sistemas inmunitarios de las personas afectadas, que nunca se habían enfrentado al nuevo virus, aún no podían reaccionar. Suponemos asimismo que todos los individuos son «semejantes». Evidentemente, esta hipótesis no se cumple en la práctica, pero, al razonar sobre una población amplia, un análisis basado en valores medios sigue siendo útil.
Dividimos la población en tres grupos. Por una parte están las personas sanas, S (por «susceptibles»); por otra, las personas infectadas, I (por «infectious»). Por último, está el grupo de las personas recuperadas, R (por «recovered»). Todo ello da lugar al acrónimo SIR.
La división en compartimentos puede ser, por supuesto, más sutil. Podemos añadir una categoría de fallecidos, D (por «dead»), y un grupo de personas infectadas en cuarentena, Q, que, por ello, ya no pueden contagiar a la población sana. De entrada, se trata sobre todo de visualizar cómo evolucionan las infecciones cuando no se adopta ninguna medida y se deja que el virus se propague libremente.
Los modelos SIR pueden ser discretos o continuos. En un marco discreto, se registran, en cada unidad de tiempo —días o semanas—, los estados de los distintos compartimentos. En el instante 0, se supone conocida la distribución de la población: S tiene cardinalidad n − 1, I contiene 1 individuo y R está vacío. Suponemos entonces que, en cada intervalo de tiempo, todo individuo infectado puede contagiar a cualquier persona del compartimento S con cierta probabilidad p. Tras cada unidad de tiempo, un individuo infectado se recupera —o muere— y pasa, por tanto, de I a R —o a D—. El modelo es, pues, estocástico y puede desembocar potencialmente en un gran número de situaciones. Para describir la evolución de los compartimentos, el Instituto Internacional de Estadística (ISI, organización creada en 1885 e independiente de cualquier gobierno) difundió entre todos sus miembros una excelente exposición sobre el tema elaborada por el profesor Tom Britton (Universidad de Estocolmo) y disponible en línea. Este estadístico puso en marcha un proceso de simulaciones a gran escala que tiene en cuenta distintos valores del par (n, p). Uno de los parámetros del modelo resultará fundamental para las conclusiones que se extraigan: la tasa básica de reproducción, es decir, el número de personas de P que cada persona enferma puede infectar. Britton estima inicialmente este parámetro mediante la relación aproximada R 0 ≈ (n − 1) p ≈ np, variando, por una parte, el tamaño de P y, por otra, el reducido valor de p.
El matemático Tom Britton.
Se presentan dos casos principales. Cuando R 0 es menor o igual que 1, no se declara ninguna epidemia. La tasa de personas contagiadas nunca supera el 10 %. En cambio, en cuanto la tasa básica de reproducción R 0 supera 1, aparecen dos escenarios. O bien el virus desaparece rápidamente tras contagiar a un número reducido de individuos —menos del 10 %—, o bien se observa un porcentaje crítico de contagiados. Así, para R 0 = 1,5, se observa, en un gran número de simulaciones, una tasa de contagio cercana al 60 %. Sin embargo, nunca se observan valores intermedios de contagio entre el 10 y el 50 %. Este fenómeno puede explicarse. Denotemos por τ la tasa final de personas infectadas por la pandemia. El número total de individuos que han pasado por la categoría I es, por tanto, igual a nτ. La proporción de población no infectada por el virus es, evidentemente, 1 − τ. En el marco del modelo, podemos considerar esta cantidad como una probabilidad: en realidad, la probabilidad de no haber sido infectado por los nτ individuos que, durante toda la epidemia, han sido portadores del virus. Si los contagios son sucesos independientes, podemos escribir 1 − τ = (1 − p) *n*τ.
Solo queda sustituir p por el valor que se deduce de la tasa básica de reproducción estimada, a saber, p = R 0 / n. Obtenemos así la relación que tiene un límite bien conocido cuando n tiende a infinito: exp (− R 0τ).
La estimación de R0
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La ecuación que hay que resolver es, por tanto, 1 − τ − exp(−R 0τ) = 0. Denotemos por f (τ) el miembro izquierdo. La ecuación siempre posee la solución trivial τ = 0. De hecho, es la única solución para cualquier valor de R 0 menor o igual que 1. En cambio, para valores de R 0 estrictamente mayores que 1, aparece una segunda solución positiva, como se observa en la gráfica siguiente, que representa la función f (τ) correspondiente al valor R 0 = 1,5.
Representación de la función f para R0 = 1,5.
La segunda solución (τ ≈ 58 %) concuerda perfectamente con los resultados observados en la simulación. No existe una forma explícita para la solución general, pero los cálculos numéricos se realizan fácilmente y proporcionan la gráfica siguiente, que muestra una estimación de la tasa de contagio τ de la población en función de la tasa básica de reproducción R 0. El crecimiento es «rápido» en cuanto R 0 se aleja del valor umbral 1. En el caso de la Covid-19, diversas fuentes estiman el valor del parámetro R 0 entre 2 y 2,5, lo que, sin reacción de la población ni adopción de medidas preventivas, permite prever una tasa de contagio del orden del 80 %.
Estimación de τ en función de R0.
El efecto de las medidas
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La situación es, evidentemente, completamente distinta en cuanto la población afectada incluye una parte de individuos inmunes o vacunados. Supongamos así que una proporción q de la población está inmunizada o vacunada. Solo la proporción 1 − q de la población podrá verse afectada por el contagio. Nuestra ecuación pasa a ser 1 − τ = q + (1 − q) exp(− R 0τ).
Imaginemos ahora que la mitad de la población está vacunada (q = 1/2). La única solución de la nueva ecuación, para valores de R 0 menores o iguales que 2, es entonces τ = 0. El modelo confirma cuantitativamente que una vacunación masiva es la solución para evitar el regreso del virus y una segunda pandemia. La gráfica siguiente compara las situaciones sin vacunación —en azul— y con vacunación —en rojo— para q = 0,5.
Evolución de τ en función de R0, con (en rojo) y sin (en azul)
vacunación masiva de la población.
Aún no hemos llegado a ese punto. Entonces, ¿qué hacer para combatir lo que a primera vista parece inevitable? Parece razonable suponer que la tasa básica de reproducción debe ser proporcional a la probabilidad de transmisión por contacto. Así ocurre en el modelo SIR anterior: R 0 = np. Podemos actuar sobre esta probabilidad usando mascarillas y lavándonos las manos, acciones que incidirán en el factor p.
Pero la tasa de reproducción depende también, evidentemente, del número de contactos de cada individuo con cualquier otro. Por tanto, podemos volver a actuar sobre el parámetro R0 confinando en casa a gran parte de la población y prohibiendo las reuniones y concentraciones públicas.
También intervienen otros factores, como la tasa de cribado en la población. En el caso de la Covid-19, algunos países realizan pruebas masivas, como Alemania. Otros, como Bélgica, durante las primeras semanas solo hicieron pruebas a los pacientes graves que presentaban síntomas de la enfermedad, o al personal sanitario… ¡siempre que tuviera fiebre! Por tanto, se desconoce el tamaño de las poblaciones S e I. Por ello, es imposible determinar una tasa de mortalidad fiable. El compartimento R incluye, pues, tanto a las personas recuperadas como a las fallecidas. Estadísticas posteriores permitirán sin duda cuantificar correctamente la tasa de mortalidad. Aquí se aprecia el interés de iniciativas como la del proyecto Polymath.
¿Qué debemos retener de todo esto? Para empezar, que pueden adoptarse medidas adecuadas y que estas deben incidir en la tasa básica de reproducción. Ahí reside el interés de los modelos matemáticos: cuantifican las consecuencias de nuestras acciones. Como herramientas de apoyo a la decisión, justifican ciertas medidas difíciles. Por último, nos tranquilizan respecto al futuro. ¿Qué más se puede pedir?
