Dossier

Tutto inizia con Apollonio di Perga, il cui monumentale trattato pone le fondamenta di una geometria che non sarà superata che due millenni più tardi. Il xvii secolo capovolge tutto: Descartes, Pascal e Desargues si impadroniscono delle coniche e le trasformano, mescolando algebra, prospettiva e teoria. Kepler – astronomo di genio ma anche matematico prodigioso – è senza dubbio uno dei primi a unificare il concetto di conica in un oggetto coerente che esplora sia nello studio dei poliedri che in quello delle orbite celesti. Infine, la geometria proiettiva, riportando l'infinito allo stesso statuto del finito, rivela che dietro la diversità delle curve si nasconde una profonda unità.

Un calcolo non deve sempre essere esatto, quindi nemmeno un calcolo mentale. Per andare veloci senza perdersi in una precisione inutile, si possono quindi sviluppare tecniche di calcolo mentale approssimato. Queste non si riducono alla semplice sostituzione occasionale di un numero con un numero più semplice. Dai logaritmi alle radici quadrate, una volta scelta la via dell'approssimazione, si può dispiegare un intero insieme di nuove tecniche per permettere di valutare a mente il risultato di alcuni problemi.

In geometria piana, la tangente, la conosciamo tutti… non appena la costruzione mette in scena un cerchio (C), una retta (D) e un punto P. Però, ci sono situazioni molto più ricche! Con solo cerchi tangenti, emerge una straordinaria diversità. Così l'arbelos, la cui vertiginosa costruzione iterativa dà vita a proprietà abbondanti, tutte più sorprendenti le une delle altre, ha affascinato gli Antichi. I cerchi gemelli di Archimede e le catene di Pappo ci immergono nel cuore di una trasformazione geometrica delle più eleganti, l'inversione. Più vicino a noi, i cerchi di Malfatti permettono di rivisitare sotto un altro angolo la nozione di cerchio inscritto. La tangenza non ha finito di meravigliarci!

Il premio stimola, è altrettanto vero per la matematica, e questo da secoli. Ciononostante occorre che le istituzioni supportino maggiormente queste iniziative, che ignorano e giudicano talvolta élitiste… Negli anni 1900, fu creato in Francia il Concours général. Insegnanti lungimiranti e motivati hanno poi sviluppato altri tipi di esperienze: competizioni meno scolastiche, prove riservate alle ragazze, tornei a più manche, rally in gruppi… il cui successo sembra non diminuire tra i giovani. Altri, più anziani, potranno vedersi assegnare altri premi: per azioni di divulgazione, per creazioni pluri-disciplinari, e persino, se i loro lavori di ricerca sono universalmente riconosciuti, la celebre medaglia Fields!

Blaise Pascal vedeva la geometria come il più bello dei mestieri. Sedotto fin dalla più tenera età dai classici della letteratura matematica che gli affidava suo padre, ne fece il suo pane quotidiano fino a produrre lui stesso risultati nuovi. Sviluppò anche nuovi modi di ragionare dimostrando diverse proprietà per induzione, un fatto nuovo all'epoca. Aritmetica, coniche, genesi delle probabilità e della combinatoria: tutti i campi hanno attirato il prodigio clermontese.

Implicitamente presente nella geometria della Grecia antica, la convessità trova la sua formulazione rigorosa nel XIX secolo in analisi, nell'ambito della risoluzione di disuguaglianze. In tutti i domini che la utilizzano, non appena l'oggetto manipolato è convesso, si constata che tutto diventa facile! Di sottili proprietà geometriche « saltano all'occhio » o si stabiliscono facilmente. Il concetto investe numerosi domini matematici (topologia, ricerca operativa…) prima di essere utilizzato ben oltre, come in intelligenza artificiale, in finanza o in economia.

All'inizio del XX secolo, l'algebraista Kurt Hensel ebbe l'intuizione geniale che ha portato all'invenzione dei numeri p-adici. Il sistema così ottenuto ha di che confondere: non serve più il segno « meno », necessità di sviluppare una nuova forma di prossimità tra i numeri, apparizione di una topologia sorprendente, e soprattutto… applicazioni profonde in tutti i campi della matematica! La scrittura stessa di questi numeri, diversa a seconda degli approcci (si possono anche scrivere con delle « cifre a sinistra »), lascia a dir poco sorpresi. Così, si rappresenta un numero negativo come –1 con un'infinità di cifre o come la somma di una serie che si potrebbe credere divergente. Una vera e propria poesia dei numeri!

Essere matematica, di mestiere o di passione, comporta numerose strategie, vari percorsi, con talvolta un po' di riconoscimento da parte delle istituzioni e del mondo accademico, ma spesso in una penombra dove è interessante addentrarsi per comprendere quali fossero le diverse sfaccettature della pratica della matematica al femminile. Di fronte a una scienza nelle mani degli uomini, alcune donne hanno così risposto agli spazi che venivano loro lasciati in matematica. Altre hanno voluto conquistarli in modo ancora più affermato. Ma l'idea della « donna dotta » è una trappola da evitare perché la società schernisce questa figura che non ha ragione d'essere.

Spazi di Hilbert, di Banach, spazi vettoriali normati, topologici, misurabili… Concettualizzati alla fine del xix secolo e all'inizio del xx, gli spazi sono indispensabili al lavoro del matematico di oggi. Li si può immaginare come « ambienti di lavoro » che mettono a disposizione « strumenti » (distanze, norme, prodotti scalari, misura…), permettendo di formalizzare le nozioni che intervengono nella risoluzione dei problemi (convergenza, limite, continuità…). Si scopre allora che idee apparse inizialmente sugli insiemi di numeri o di vettori possono applicarsi a insiemi più complessi, come gli spazi di funzioni. Piccola guida per orientarsi negli spazi.

La statistica consiste innanzitutto nel descrivere in modo quantificato e sintetico una situazione data. Una prima questione è quella della classificazione: si può, in modo automatico, raggruppare individui in classi, in insiemi « coerenti », pur basandosi solo su una semplice descrizione tramite alcune variabili statistiche? La risposta è sì, in diversi modi! La ricostituzione del reale a partire dalla sintesi dei dati permette anche di prendere decisioni: in medicina, si tratterà, ad esempio, di testare e misurare l'efficacia di una terapia rispetto a un'altra, a partire da piccoli campioni. In biologia, la grande quantità e l'eterogeneità dei dati « omici » (aventi attinenza con le molecole a diverse scale) obbligano a ripensare gli algoritmi e immaginare nuovi metodi statistici adatti alle loro caratteristiche.