Alla radice della radice quadrata
Indispensabili in geometria come in analisi, le radici quadrate hanno tuttavia impiegato secoli per affermarsi come numeri a pieno titolo in matematica. La difficoltà nel calcolarle non ha aiutato a farle accettare! Di fatto, spesso bisogna calcolarne valori approssimati. Per questo, cosa c'è di meglio di un buon algoritmo? Conoscete senza dubbio quello di Erone o il metodo di estrazione cifra per cifra, ma questo dossier vi aiuterà a capire finalmente « perché e come funziona »
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Estrazione: i grandi algoritmi
Calcolare «a penna», come si diceva nel XVIII secolo, radici quadrate è un’arte difficile e dalle molte sfaccettature. Andiamo alla scoperta di alcuni metodi celebri e vediamo perché funzionano.
I prodigi del calcolo
Come fanno i prodigi del calcolo ad applicare rapidamente gli algoritmi per l'estrazione di radici?
Il metodo di Newton
Sapete come fa la calcolatrice o quella dello smartphone a calcolare la radice quadrata di un numero a > 0?
Radici e frazioni continue
Esistono altri modi di rappresentare i numeri reali oltre alla scrittura decimale! Uno dei più noti consiste nello scrivere un numero sotto forma di frazione continua. Le rappresentazioni così ottenute, anche se troncate, forniscono molto rapidamente «buone» approssimazioni del numero di partenza.
Matrici quadrate e trasformazioni del piano
Il concetto di radice quadrata può essere esteso a insiemi molto generali. Si possono allora ottenere più di due radici quadrate, se non addirittura infinite! Il caso delle matrici ne è un esempio. Le similitudini dirette, affrontate attraverso i numeri complessi, ci riportano a risultati meno sorprendenti.
Numeri oppure no?
L’affermazione dei numeri irrazionali fu laboriosa. L’introduzione delle radici di numeri interi che non sono potenze perfette fu accompagnata da numerosi interrogativi sulla natura e sull’essenza dei numeri. Un radicale incommensurabile con l’unità e le sue frazioni è un numero?