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La importancia y omnipresencia de lo numérico han llevado a redefinir campos enteros de las matemáticas. Mientras que la aproximación traducía antes limitaciones en los conocimientos matemáticos o en las capacidades de los calculadores humanos, en la computadora todo es, de hecho, aproximado: los números, las imágenes, los sonidos e incluso las funciones, tratadas como sucesiones de operaciones elementales. Desde la recogida de datos hasta sus tratamientos y sus representaciones, se desarrollan regularmente numerosas técnicas. Ciertos problemas se vuelven entonces cruciales: la acotación del error que se propaga de una etapa a otra de un cálculo, la estabilidad de los modelos utilizados que deben evitar los bruscos «saltos» cualitativos, la simplicidad de implementación de los algoritmos… Detrás de todas estas cuestiones se esconden teoremas estudiados hace casi dos siglos, y métodos prolongados y amplificados con el desarrollo de las tecnologías numéricas.

Un cálculo no siempre tiene que ser exacto, por lo tanto, un cálculo mental tampoco. Para ir rápido sin perderse en una precisión innecesaria, se pueden desarrollar técnicas de cálculo mental aproximado. Estas no se reducen al simple reemplazo ocasional de un número por un número más simple. De los logaritmos a las raíces cuadradas, una vez elegida la vía de lo aproximado, todo un conjunto de técnicas nuevas puede desplegarse para permitir evaluar de cabeza el resultado de ciertos problemas.

Nacido con el desarrollo de la informática, el arte digital ha permitido a los artistas, al apropiarse de algoritmos y lenguajes de programación, explorar nuevos campos y «dialogar» con su público a través de creaciones abstractas. Explotando en un primer momento el uso de motivos repetitivos, este nuevo arte se ha abierto, al hilo de las oportunidades tecnológicas, a colaboraciones fructuosas e inesperadas. Las matemáticas, omnipresentes, muestran una vez más que pueden contribuir a la armonía. Procesos iterativos, simulación del azar, exploración de números y combinaciones, uso del análisis en la música, los artistas juegan con sus conceptos.Esta confluencia es también la ocasión de interrogarse sobre la propia noción de creación. La escritura de un programa informático, ¿forma parte de ella? ¿Y qué decir de las obras, cada vez más numerosas, generadas por la inteligencia artificial?

Aparecida con los babilonios, muy desarrollada en la Antigüedad pero también en el Renacimiento, la astrología tentó durante mucho tiempo a los astrónomos y a los matemáticos cuando el origen de las fuerzas gravitatorias era desconocido. Aunque a veces se basa en sabios cálculos, hoy sabemos que no posee ninguna base teórica y se fundamenta en consideraciones astronómicas generalmente erróneas… Clasificada hoy por los científicos como una disciplina oscurantista, todavía atrae a numerosos adeptos. ¿Por qué? Sin duda es competencia de la psicología y… de las probabilidades. Porque su único arte es hacer creer en la realidad de sus afirmaciones.

Hace ciento cincuenta años nacía uno de los espíritus más originales que existen: Bertrand Arthur William Russell era matemático, lógico, filósofo, librepensador… Sus escritos le valieron recibir el premio Nobel de literatura en 1950. Su obra científica es colosal. Con su cómplice Alfred Whitehead, dio cuerpo al logicismo, esa corriente de pensamiento que busca hacer descansar los fundamentos de las matemáticas sobre la lógica. Su obra filosófica es aún más considerable. Russell nunca dudó en elevarse contra los dogmas, religiosos, morales o económicos, que veía como otras tantas argollas de las que las sociedades y los individuos son prisioneros.

Símbolos de la transformación que hay que esperar de nuestra vida cotidiana, encarnación de los sueños de la ciencia ficción, las máquinas parlantes no son más que una de las caras de la penetración de la IA en campos cada vez más variados. Nuevos métodos de aprendizaje, consejos para jugar (incluyendo en bolsa), traducciones, ayuda a la decisión, diagnósticos, predicciones... Nuevas posibilidades se ofrecen al ser humano para incrementar constantemente sus competencias. ¿Qué futuro para esta relación imprescindible entre humanos y máquinas interconectadas?

A lo largo de la historia, calcular mejor y más rápido ha constituido un imperativo, en la base de importantes enjeux. Los métodos se han multiplicado, a veces de manera sorprendente. ¡Así, Descartes utilizaba la geometría para realizar operaciones aritméticas! El cálculo mental, con sus trucos, ha ocupado un lugar importante en la enseñanza de las matemáticas, aunque su enfoque se ha visto transformado por la llegada de la informática y de las calculadoras. Estas últimas continúan adaptándose para integrar los aportes tecnológicos y permanecer como herramientas pedagógicas indispensables. Saber calcular bien sigue siendo, de hecho, un imperativo para integrarse bien en la sociedad.

La Tierra se calienta, es un hecho estadístico. Dado que se señala la responsabilidad del hombre con el dedo, cada vez más países fomentan iniciativas más « verdes », como la sustitución del carbón por la energía eléctrica. ¿Es esta última tan virtuosa como se afirma? La interpretación de los datos disponibles y algunos cálculos elementales permiten mantener la cabeza fría.

Desde la Antigüedad, se ha interesado, para problemas de redistribución de tierras, en calcular el área de un cuadrilátero. El matemático indio Brahmagupta estableció una fórmula a partir de la medida de sus lados, fórmula semelhante a la de Herón de Alejandría para los triángulos. Una generalización de estas expresiones ha permitido recientemente determinar el área de un pentágono cualquiera a partir de sus lados. Otro problema antiguo, la construcción de polígonos regulares con regla y compás. Habrá que esperar al siglo XIX, los trabajos de Gauss y el desarrollo de la teoría de Galois, para determinar cuáles son efectivamente constructibles según las reglas de Euclides.

Comparar cantidades es una de las actividades más naturales: ¿quién posee menos objetos, o el campo más grande? Antes de conocer todos los trucos matemáticos que permiten aumentar la superficie de su terreno o un capital precioso, es útil volver a los orígenes geométricos de la cuestión, para visualizar bien las cantidades en juego. La desigualdad del triángulo y el truco de Dido aún nos sorprenden hoy por su fecundidad.