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Desde hace siglos, los aficionados a la bella aritmética rivalizan en ingenio para proponer cuadrados mágicos cada vez más asombrosos, con propiedades cada vez más numerosas. Uno de los expertos en la materia, René Descombes, nos presenta algunos de sus métodos de construcción. Mientras que los medios informáticos permiten ampliar el palmarés de los aficionados, las variantes no dejan de aumentar. Redescubramos los cuadrados multiplicativos, cuadrados con huecos y otras construcciones «mágicas». Los tesoros aritméticos que aparecen en ellos parecen sin límite y se encuentran hasta en el arte figurativo.

Grafos y probabilidades no son los únicos campos de las matemáticas a los que recurren los juegos de mesa. La geometría, e incluso la topología, intervienen a menudo cuando se trata de colocar piezas de formas diversas en un tablero. La combinatoria es también, por supuesto, la clave de numerosos juegos. Pero no hay que olvidar la teoría de números, que a menudo permite imaginar modelos de relación entre ciertas situaciones de juego y números que les están asociados.

¡Continúan, las fracciones! Fundamentalmente limitadas al conjunto de los números racionales, logran sin embargo escapar de él cuando se las deja proseguir hasta el infinito. En este sentido, existen múltiples formas de hacerlo. Una de ellas consiste en agregar una y otra vez, para acercarse cada vez más a números irracionales como π. Una segunda posibilidad consiste en disponer las fracciones en un árbol binario para obtenerlas todas. Finalmente, proceso principal, técnicas algebraicas o aritméticas permiten constituir fracciones de fracciones, que se prosiguen hasta el infinito y definen así las fracciones… continuas.

A finales del siglo XX, el álgebraico Kurt Hensel tuvo la intuición genial que condujo a la invención de los números p-ádicos. El sistema así obtenido desconcierta: ya no se necesita el signo «menos», necesidad de desarrollar una nueva forma de proximidad entre los números, aparición de una topología asombrosa, ¡y sobre todo... aplicaciones profundas en todos los campos de las matemáticas! La propia escritura de estos números, diferente según los enfoques (incluso se pueden escribir con « decimales a la izquierda »), es sorprendente. Así, se representa un número negativo como –1 mediante una infinidad de dígitos o como la suma de una serie que se podría creer divergente. ¡Una verdadera poesía de los números!

A finales del siglo XX, el algebrista Kurt Hensel tuvo la intuición genial que condujo a la invención de los números p-ádicos. El sistema así obtenido puede déconcertar: ya no se necesita el signo « menos », necesidad de desarrollar una nueva forma de cercanía entre los números, aparición de una topología asombrosa, ¡y sobre todo… aplicaciones profundas en todos los campos de las matemáticas! La propia escritura de estos números, diferente según los enfoques (incluso se pueden escribir con « decimales a la izquierda »), puede sorprender. Así, se representa un número negativo como –1 mediante una infinidad de dígitos o como la suma de una serie que se podría pensar que diverge. ¡Una verdadera poesía de los números!

La infinita variedad de las trayectorias del plano parecía escapar a toda clasificación. Sin embargo, las curvas suaves comparten una propiedad común: ¡cuando se « hace zoom » en un punto genérico, se « ve » una recta! Las nociones de tangente y derivada permitieron, con mucho retraso, formalizar esta observación. La tangente sigue siendo hoy una herramienta universal potente para estudiar las curvas e intentar poner de manifiesto sus propiedades. Sin embargo, cuidado con no confundir la tangente a una curva con su asíntota en el infinito. A priori, ninguna confusión es posible. Pero cuidado con las conclusiones apresuradas: ¡la geometría proyectiva le reserva sorpresas!

Originalmente se le llamaba « superficie », del mismo nombre que aquello que medía… El área de las figuras planas debía calcularse desde hace mucho tiempo por razones arraigadas en lo real. Repartir un campo de manera equitativa, someter un dominio al impuesto más justo posible requieren un cálculo preciso e incuestionable. Durante la Antigüedad, los egipcios y los griegos procedían por aproximaciones sucesivas, un método largo y tedioso, sobre todo cuando interviene este número escurridizo que hoy llamamos π. Harán faltan varios siglos para que los científicos fundamenten el cálculo integral, que resuelve en la práctica todos los casos que se pueden encontrar, del área del campo de maíz a la barrida por un planeta durante su revolución alrededor del sol.

El estudio del movimiento de los astros ilustra la transformación del отношшения a las matemáticas que han tenido los físicos. Después del método sintético de Newton, el método analítico de Lagrange, aprovechando la potencia del cálculo integral, dio origen a la teoría de las ecuaciones diferenciales. Un siglo más tarde, bajo la inspiración de Henri Poincaré, el mismo problema llevará los gérmenes de los sistemas dinámicos.

Ser matemática, de profesión o de pasión, abarca numerosas estrategias, diversos recorridos, con a veces un poco de reconocimiento por parte de las instituciones y del mundo erudito, pero frecuentemente en una penumbra donde es interesante adentrarse para comprender cuáles eran las diferentes facetas de la práctica de las matemáticas en femenino. Frente a una ciencia en manos de los hombres, algunas mujeres han respondido así a los espacios que se les dejaba en matemáticas. Otras han querido conquistarlos de forma aún más afirmada. Pero la idea de la « mujer sabia » es un escollo que debe evitarse pues la sociedad se burla de esta figura que no tiene razón de ser.

La estadística consiste en primer lugar en describir de manera cifrada y sintética una situación dada. Una primera pregunta es la de la clasificación: ¿se puede, de manera automática, agrupar individuos en clases, en conjuntos « coherentes », sin apoyarse más que en una simple descripción por algunas variables estadísticas? La respuesta es sí, ¡de varias maneras! La reconstitución de lo real a partir de la sintetización de los datos permite también tomar decisiones: en medicina, se tratará, por ejemplo, de probar y medir la eficacia de una terapia con respecto a otra, a partir de pequeñas muestras. En biología, la gran cantidad y la heterogeneidad de los datos « ómicos » (relativos a las moléculas a diferentes escalas) obligan a repensar los algoritmos e imaginar nuevos métodos estadísticos adaptados a sus características.