Dossiers

A principios del siglo XIX, el matemático Joseph Gergonne pensó descubrir un nuevo mundo cuando comprendió que un teorema nacía de otro al intercambiar en un enunciado los términos « punto » y « recta ». En un sentido más amplio, esta analogía ya había sido destacada, en particular, en el contexto de los sólidos platónicos. Bautizada después como dualidad, permite, al « invertir » dos conceptos « duales », llegar a demostraciones de una rapidez impresionante. La dualidad fue la cuna de la geometría proyectiva. Se encuentra hoy en día en numerosos ámbitos: teoría de conjuntos, lógica, álgebra lineal… El análisis también se ha apropiado de ella en el contexto de los espacios funcionales.

Así como una palabra está compuesta por letras, un número está constituido por dígitos. Nuestro sistema decimal de posición (que utiliza diez dígitos y cuya posición en la escritura del número es significativa) es una manera — bastante potente — de representar un número. ¿Pero qué efectos se pueden obtener manipulando esta serie de dígitos? La creatividad aportada por algunos en la búsqueda de respuestas a esta pregunta abre la puerta a un nuevo universo. Allí descubrirá números perfectos, deficientes y abundantes, el concepto de número primo, propiedades intrigantes de los números primos... y muchas otras curiosidades.

Mejorar, ganar un poco por aquí, evitar perder demasiado por allá, optimizar… todo eso es competencia del análisis. Si la intuición geométrica nos sirve para comparar, es el análisis matemático el que nos va a permitir cuantificar las variaciones y así maximizar o minimizar numerosas expresiones. Entre las estrellas del campo, encontramos la desigualdad aritmético-geométrica, bien conocida por los estudiantes de secundaria, y la de Cauchy‒Schwarz, más avanzada pero de una potencia formidable.

Las matemáticas no se reducen, desde luego, a « hacer cálculos con números ». Sin embargo, el problema de contar objetos es más estimulante de lo que parece: ¿se puede contar todo de manera exacta, o al menos de manera aproximada? ¿Es útil disponer de un valor numérico preciso, o es suficiente una estimación? En cada situación, las técnicas matemáticas empleadas serán diferentes: enumeraciones, razonamientos combinatorios, herramientas algebraicas, biyecciones de conjuntos. Para contar una población, se preferirá la estadística, los modelos, los estimadores. ¡Contar no es algo tan sencillo!

Se habla hoy de las « cifras árabes » pero a menudo se ignora completamente los sistemas de notación, sucesivos o concurrentes, que se utilizaban en los países de Islam. Asimismo, se dice – y se repite con gusto – que el álgebra nació con al-Khwārizmī, y a veces se sabe que se interesó por las cuestiones de herencia para perfeccionar sus métodos de resolución, pero ¿quién ha observado alguna vez la manera exacta en que las abordaba ? También se olvida con frecuencia a todos los demás matemáticos, en particular posteriores, que estructuraron el álgebra a lo largo de los siglos. Y no habría que descuidar todo el desarrollo de la aritmética, especialmente la recreativa, que ha podido inervar numerosos textos a veces sin relación aparente con las matemáticas.

El concepto matemático de baricentro, derivado del de centro de gravedad en física, no se introdujo hasta el siglo XIX. Este sistema de puntos ponderados se convierte en un concepto indispensable en geometría ya que conduce a maravillas. Su famosa ley de asociatividad se encuentra en numerosos trucos de demostraciones y permite, con el concepto de coordenadas baricéntricas, resolver, independientemente de la dimensión del espacio, múltiples problemas, a menudo sin cálculos: alineación de puntos, concurrencia de rectas, lugar geométrico de un punto del plano o del espacio... Nacido de las leyes de equilibrio de la física, que se pueden observar, por ejemplo, en los móviles del artista Alexandre Calder, el baricentro tiene hoy un uso sin límites, desde la astronomía hasta la equitación, desde las ciencias de la ingeniería hasta el deporte.

Al modelizar la percepción visual, los pintores del Renacimiento hicieron emerger una geometría nueva para representar la profundidad. Nada parecía conservarse, salvo una extraña relación que vincula cuatro puntos alineados, el birraporto, que sin embargo, desde la Antigüedad, había sido presentido por Ménélaüs y Pappus. Este invariante, que emerge de la concurrencia de cuatro rectas, permite construcciones geométricas y demostraciones elegantes, incluso en un marco no euclidiano. Ofrece una mirada diferente sobre el plano, al abolir el imperio de las nociones de ángulo y distancia.

Laplace es el ejemplo perfecto para refutar la idea según la cual los científicos, inaccesibles y emparedados en su torre de marfil, están cómodamente aislados del mundo que los rodea. Si bien permaneció al margen de los disturbios revolucionarios, no obstante se implicó en política. Senador y cancelario, firma por ejemplo la caída de Napoleón. Además, su puesto en la Academia de las ciencias y su compromiso le permiten estar en el corazón del desarrollo de las Grandes Escuelas en Francia. Este aspecto de su vida sigue siendo poco estudiado por los historiadores.

John Horton Conway, matemático de genio, falleció a los 82 años el 11 de abril, en New Brunswick (Nueva Jersey, Estados Unidos). A la vez creador con una imaginación desbordante en numerosos campos – en particular los juegos – y divulgador excepcional, encarnaba el modelo ideal de matemático con el que Tangente podría soñar. Por su talento, John Conway hizo avanzar las matemáticas en campos variados: grupos finitos, teoría de números, geometría y topología geométrica, física teórica, combinatoria y teoría de juegos. Pero fue especialmente el «juego de la vida» el que lo hizo famoso, permitiendo a un amplio público descubrir las matemáticas desde una perspectiva nueva, lúdica y profunda a la vez. Este juego sirvió, entre otras cosas, para modelar el desarrollo de una epidemia. Trágica coincidencia, fueron las complicaciones relacionadas con el coronavirus las que causaron la muerte de su creador.

Si bien es a Georg Cantor a quien se debe, a finales del siglo xix, haber convertido definitivamente al infinito en una rama de las matemáticas en lugar de la teología o la filosofía, el «paraíso» así ofrecido fue el resultado de dos milenios de indecisiones, idas y venidas y controversias sobre un fondo de paradojas. Zenón había presentado las contradicciones emboscadas. Aristóteles había establecido un compromiso razonable. Las reflexiones se afinaban sobre lo infinitamente pequeño hasta dar origen al cálculo diferencial… Hoy, el infinito ha triuncado tanto que es ahora a partir de él que se define lo finito, en un extraordinario reversed que se debe a Bolzano y a Dedekind.