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Los alumnos lo saben bien: abordar las probabilidades y las estadísticas exige a menudo un tiempo de adaptación. ¿Quién no ha confundido nunca correlación y causalidad? Siendo el azar por naturaleza imprevisible, ¿cómo esperar construir certezas en él? Más sorprendente aún: ¿cómo crear modelos sobre fenómenos impredecibles?Poniendo a prueba nuestra intuición, las paradojas se encadenan alegremente, lo que el universo del entretenimiento (casinos, juegos de mesa, medios de comunicación, juegos de cartas o de azar…) ha sabido aprovechar. Pero domar aunque sea un poco el azar aporta potentes herramientas en un mundo donde todo está conectado: las elecciones de los usuarios de internet, las reservas en línea, la detección de correos electrónicos no solicitados recurren a un teorema descubierto hace trescientos años por un teólogo inglés de nombre Thomas Bayes.

En Francia, Martin Gardner es sobre todo conocido por sus recreaciones matemáticas escritas como divulgador. Él que, extrañamente, nunca estudió matemáticas en la universidad, sino que fue mago, filósofo, escritor y editor, deja una obra mucho más vasta, producto de sus múltiples centros de interés. Se le descubre así nuevos rostros a través de su desarrollo filosófico muy original del escepticismo científico o por medio de su asombrosa y fecunda producción literaria que oscila de la ciencia-ficción a la poesía pasando por novelas. Y no se dejará de maravillar al explorar sus trucos de matemagia.

Aunque menos conocido que su «gran hermano», el Pequeño Teorema de Fermat es, él también, una joya de la aritmética, ¡y cuánto más útil! ¡Que un resultado matemático abstracto encuentre, trescientos años después de haber sido establecido, aplicaciones fundamentales, tiene de qué sorprender! Sin embargo, es el caso, en particular en el dominio del intercambio de información en Internet. Esta pequeña joya, которую обнаружил «el magistral magistrado» Pierre de Fermat, proporciona algoritmos criptográficos fundamentales, de los cuales el más conocido es RSA. Una joya que no ha terminado de dar de qué hablar: ¡todavía quedan zonas de sombras y demostraciones de conjeturas por hacer!

Es sin duda la constante más famosa de todas las matemáticas después del 0 o del 1. El número π, cuya historia tiene varios milenios y continúa escribiéndose en nuestros días, ejerce una fascinación evidente. ¿Es debido a su omnipresencia en geometría y a su vínculo con esta forma perfecta que es el círculo? ¿O porque la secuencia infinita de sus decimales parece totalmente aleatoria? ¿O todavía debido al abismo que separa la simplicidad de su definición de la dificultad que se tiene para establecer sus propiedades? Lo que es cierto es que π continúa dando trabajo a los científicos y intrigándonos.

En su versión aritmética, el teorema de Bézout es una verdadera invitación al descubrimiento de problemas « agradables y deleitables », que Bachet de Meziriac había diseñado y que Tangente continúa proponiéndoos. Numerosos resultados de aritmética elemental se derivan de él, y os permitirán ejercitar vuestra sagacidad. El teorema de Bézout se presenta también con los polinomios. En este caso, tiene aplicaciones incluso en el cálculo integral y desempeña en particular un papel para estudiar la intersección de curvas algebraicas.

Es parte del abc del análisis matemático. El teorema (o lema) de Rolle indica que una función derivable que toma dos valores iguales posee al menos un « pico » donde su derivada es nula. Pero ¿quién era Michel Rolle? ¿Se sabe que fue un acérrimo oponente al cálculo diferencial? A continuación siguió una memorable pelea con Pierre Varignon. Con su extensión el teorema de los incrementos finitos, el teorema de Rolle admite múltiples aplicaciones: en matemáticas puras como ciertos métodos de resolución de ecuaciones, pero también en diversos campos como las finanzas para realizar ciertos cálculos de intereses.

Las pantallas han invadido nuestra vida cotidiana: ordenadores, tabletas, televisiones, smartphones, casi no nos comunicamos más que a través de ellas. También nos volvemos cada vez más exigentes en cuanto a la calidad de su definición. El paso de los pequeños formatos en blanco y negro de principios de los años cincuenta a las grandes pantallas de colores vivos de hoy en día no puede lograrse más que gracias a asombrosos avances, tanto a nivel de la transmisión de las señales como de su compresión. Aprovechando las particularidades de nuestro aparato visual, el formato JPEG y sus diferentes derivados nos ofrecen imágenes consideradas nítidas manteniendo un «peso» aceptable. Para lograrlo, una transformación inspirada en los trabajos de Fourier produce excelentes resultados.

Con la parábola y la hipérbola, la elipse es una de las tres cónicas. Primero examinadas en el marco de la resolución de problemas que requerían herramientas adicionales a la regla y el compás, como la duplicación del cubo, luego se unifican por su definición geométrica como intersección de un plano y un cono. La elipse, que parece no ser más que un simple círculo aplastado, presenta propiedades sorprendentes, ya sea el cálculo de su perímetro, los diferentes métodos de construcción que se le pueden imaginar o las propiedades prácticas que permite su definición bifocal, una de ellas siendo la proof del heliocentrismo.

En esta ciudad de París que podía entonces reclamar el estatus de capital intelectual de Europa, Cauchy fue el pivote científico de toda su generación. La gloria de Cauchy no tuvo, sin embargo, nada de un largo río tranquilo. Nacido en 1789, se confrontó con los grandes trastornos que atravesaron Francia durante décadas y vieron encadenarse los cambios de regímenes y las revoluciones. Si nadie en su tiempo puso realmente en duda la dominación científica de Cauchy, su genio no siempre lo protegió de los avatares de la época. Su firmeza, a veces intransigente en los planos político y religioso, le perjudicó, dando de él la imagen de un hombre rígido cuando precisamente sus buenas obras le granjearon también una gran consideración.

En geometría, la optimización también se aplica a contextos geométricos. La naturaleza fue la primera en buscarla, ya sea en la forma de las celdillas de las abejas o en la de ciertos relieves modelados por el agua o el viento. Los matemáticos, ellos también, se han empleado en ella, utilizando hoy en día las herramientas del cálculo diferencial que han supplantado los métodos antiguos hasta el punto de volver irreconocible la geometría. Las cuestiones mismas se han transformado bajo el efecto de la eficacia multiplicada ofrecida por estos métodos. Pero no todo se reduce al cálculo diferencial. Cuando aspectos combinatorios se inmiscuyen en él, los problemas pueden revelarse difíciles, hasta el punto de que ciertos enunciados aparentemente simples, como el de los triángulos de Heilbronn, resisten aún la sagacidad de los investigadores.