Motivada originalmente por el análisis de los juegos de azar, la teoría de la probabilidad interviene, por sus conceptos, métodos y resultados, en muchísimos ámbitos, como las ciencias humanas (sociología, economía…) o naturales (física, biología, química…). Así, los alumnos se enfrentan constantemente, desde la educación secundaria obligatoria hasta los estudios superiores, al análisis de fenómenos probabilísticos.
La paradoja de Monty Hall es un ejemplo concreto del uso de las probabilidades. Inspirada en el concurso televisivo estadounidense Let’s Make a Deal, presentado por Monty Hall (1921–2017) entre 1963 y 1977, también apareció en 1990 en la sección Ask Marylin de Parade Magazine.
Simulaciones para convencerse ==================================
En un concurso televisivo, tres puertas se alzan ante el concursante. Detrás de una de ellas hay un coche; detrás de las otras dos, cabras (que se supone que son premios de consolación). El concursante elige una puerta de entre las tres. El presentador, que sabe qué se oculta detrás de cada puerta, abre una de ellas y muestra una cabra. Entonces el concursante debe tomar una nueva decisión: ¿mantener su primera elección o cambiarla?
¿Es mayor la probabilidad de ganar cambiando de puerta que sin cambiarla?
Para responder a esta cuestión, vamos a simular, mediante un programa en lenguaje Python, un gran número de partidas del juego de Monty Hall. Al comienzo del curso 2018, una actualización gratuita de la calculadora Graph 90+E de Casio permitirá incorporar un nuevo menú de programación en lenguaje Python. Utilizaremos este nuevo menú para realizar nuestra simulación.
En este programa definiremos una función que genera una partida. Se elige una de las tres puertas para ocultar tras ella el coche. Después, la función selecciona la primera elección del participante y elimina una de las dos puertas que ocultan una cabra. Según la táctica adoptada por el concursante —cambiar o no su elección—, contaremos el número de partidas ganadas por este en mil partidas jugadas.
Entremos un poco en los detalles. En primer lugar, se crea una clase «Táctica». El concursante tiene dos posibilidades: cambiar o mantener su elección inicial.
El segundo paso consiste en definir la función «jugar\_juego». Esta simula, para una sola partida, la elección de puerta por parte del concursante, la apertura de una puerta equivocada por el presentador y, después, la elección final del concursante.
Para simular un número importante de partidas, definamos la función «jugar». Esta función devuelve el resultado de cada partida en una lista. Los resultados se almacenan según si el concursante pierde (0) o gana (1). Solo queda sumar los elementos de la lista correspondiente a mil partidas, según la táctica del concursante, y mostrar el resultado.
Una vez escrito el programa, podemos ejecutarlo en la consola Shell.
Así, de mil partidas, aproximadamente el 66% se ganan si el concursante cambia de puerta, y solo el 34% si no la cambia. Podemos conjeturar razonablemente que la probabilidad de ganar es mayor cuando el concursante cambia de puerta.
Señoras y señores, si desean aumentar sus posibilidades de ganar en este juego, un pequeño consejo: ¡cambien su elección inicial!
Bayes en acción ===================
Contrariamente a lo que mucha gente pueda pensar, los concursantes que deciden cambiar de puerta tienen, en efecto, dos tercios de probabilidad de ganar, frente a solo un tercio si mantienen su primera elección. Validemos este razonamiento con ayuda del teorema de Bayes.
Sean P (A | B) la probabilidad del suceso A condicionada por el suceso B, y P (A) y P (B) las probabilidades respectivas de A y B. Entonces (véanse las páginas 22 a 24):
P (A|B)=P (B|A) P (A)P (B).\text {P (A|B)} = \dfrac{\text {P (B|A) P (A)} }{\text{P (B)}}.
Apliquemos este teorema a nuestro problema. Supongamos que el jugador elige primero la puerta 1 (el razonamiento sería el mismo para las otras dos puertas).
Obtenemos:
P (V1∣C2)=P (C2∣V1) P (V1)P (C2)\text {P } (\text {V}_1 | \text {C}_2)= \dfrac{\text {P } (\text {C}_2 | \text {V}_1) \text { P } (\text {V}_1) } {\text{P } ( \text{C}_2)}
donde P (V1) es la probabilidad de que el coche esté detrás de la puerta 1; P (C2), la probabilidad de que el presentador muestre una cabra detrás de la puerta 2; y P (C2 | V1), la probabilidad de que el presentador muestre una cabra detrás de la puerta 2 condicionada a que el coche esté detrás de la puerta 1.
La probabilidad P (V1) es igual a 1/3. En efecto, el coche se encuentra con igual probabilidad detrás de cada una de las tres puertas.
P (C2 | V1) es igual a 1/2. El presentador, que sabe dónde está el coche, puede elegir abrir la puerta 2 o la puerta 3, pues detrás de la puerta 1, elegida por el concursante, está el coche.
P (C2 | V2) = 0: si el coche está detrás de la puerta 2, no hay ninguna posibilidad de que el presentador la abra.
P (C3 | V3) = 1: si el coche está detrás de la puerta 3 y el jugador ha elegido la puerta 1, el presentador está obligado a elegir la puerta 2.
Calculamos entonces:
P (C2)=P (C2∣V1) P (V1)+P (C2∣V2) P (V2)+P (C3∣V3) P (V3)\text {P } (\text {C}_2)= \text {P } (\text {C}_2 | \text {V}_1) \text { P } (\text {V}_1) + \text {P } (\text {C}_2 | \text {V}_2) \text { P } (\text {V}_2) + \text {P } (\text {C}_3 | \text {V}_3) \text { P } (\text {V}_3)
P (C2)=12×13+0×13+1×13=12.\text {P } (\text {C}_2)=\dfrac {1}{2} \times \dfrac{1}{3} +0 \times \dfrac{1}{3} +1 \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{2}.
De ello se deduce:
P (V1∣C2)=12×1312=13.\text {P } (\text {V}_1 | \text {C}_2)= \dfrac {\dfrac {1}{2} \times \dfrac {1}{3}} {\dfrac{1}{2} } = \dfrac{1}{3}.
Por tanto, el concursante tiene aproximadamente un 33% de probabilidad de ganar si no cambia de puerta.
Pero si el concursante cambia de puerta, la probabilidad de ganar asciende aproximadamente al 67%:
P (V3∣C2)=P (C2∣V3) P (V3)P (C2)=23.\text {P } (\text {V}_3 | \text {C}_2)= \dfrac{\text {P } (\text {C}_2 | \text {V}_3) \text { P } (\text {V}_3) } {\text{P } ( \text{C}_2)} = \dfrac {2}{3}.
La probabilidad de ganar es mayor cuando el concursante cambia su elección.