Nata dall’analisi dei giochi d’azzardo, la teoria delle probabilità interviene, con i suoi concetti, metodi e risultati, in moltissimi ambiti, dalle scienze umane (sociologia, economia…) a quelle naturali (fisica, biologia, chimica…). Gli studenti si confrontano quindi continuamente, dalla scuola secondaria di primo grado fino agli studi universitari, con l’analisi di fenomeni probabilistici.
Il paradosso di Monty Hall è un esempio concreto dell’uso delle probabilità. Ispirato al programma televisivo statunitense Let’s Make a Deal, condotto da Monty Hall (1921–2017) tra il 1963 e il 1977, comparve anche nel 1990 nella rubrica Ask Marylin del Parade Magazine.
Simulazioni per convincersene ==================================
Durante un gioco televisivo, il concorrente si trova davanti a tre porte. Dietro una di esse c’è un’automobile, dietro le altre due delle capre (che rappresentano, si suppone, premi di consolazione). Il concorrente sceglie una delle tre porte. Il conduttore, che sa cosa si nasconde dietro ciascuna porta, ne apre una rivelando una capra. Il concorrente deve allora compiere una nuova scelta: restare sulla sua prima decisione oppure cambiare?
La probabilità di vincere cambiando porta è maggiore di quella di vincere senza cambiare?
Per rispondere a questa domanda, simuleremo, mediante un programma in linguaggio Python, un gran numero di partite del gioco di Monty Hall. All’inizio dell’anno scolastico 2018, un aggiornamento gratuito della calcolatrice Graph 90+E di Casio consentirà di integrare un nuovo menu di programmazione in linguaggio Python. Useremo proprio questo nuovo menu per realizzare la nostra simulazione.
In questo programma definiremo una funzione che genera una partita. Tra le tre porte, ne viene scelta una dietro cui nascondere l’automobile. La funzione seleziona poi la scelta iniziale del concorrente ed elimina una delle due porte dietro cui si nasconde una capra. A seconda della tattica adottata dal concorrente, ossia che cambi o meno la propria scelta, conteremo il numero di partite vinte dal concorrente su mille partite giocate.
Entriamo un po’ nei dettagli. Anzitutto viene creata una classe «Tattica». Il concorrente ha due possibilità: modificare oppure mantenere la scelta iniziale.
Il secondo passo consiste nel definire la funzione «jouer_jeu». Per una sola partita, essa simula la scelta della porta da parte del concorrente, l’apertura di una porta sbagliata da parte del conduttore e infine la scelta definitiva del concorrente.
Per simulare un numero elevato di partite, definiamo la funzione «jouer». Questa funzione restituisce in un elenco l’esito di ogni partita. I risultati vengono memorizzati a seconda che il concorrente perda (0) o vinca (1). Non resta che sommare tutti gli elementi di questi elenchi per un certo numero di partite giocate (qui, mille), secondo la tattica del concorrente, e visualizzare il risultato.
Una volta scritto il programma, possiamo eseguirlo nella console Shell.
Così, su mille partite, circa il 66% delle partite si conclude con una vittoria se il concorrente cambia porta, e solo il 34% se non la cambia. Possiamo ragionevolmente congetturare che la probabilità di vincere sia maggiore quando il concorrente cambia porta.
Signore e signori, se desiderate aumentare le vostre probabilità di vincere a questo gioco, un piccolo consiglio: cambiate la vostra scelta iniziale!
Bayes all’opera ===================
Contrariamente a quanto molti potrebbero pensare, i concorrenti che scelgono di cambiare porta hanno effettivamente due terzi di probabilità di vincere, contro un solo terzo se mantengono la prima scelta. Verifichiamo questo ragionamento con il teorema di Bayes.
Siano P (A | B) la probabilità condizionata dell’evento A dato l’evento B, P (A) e P (B) le probabilità rispettive di A e B. Allora (vedi pagine 22-24):
P (A|B)=P (B|A) P (A)P (B).\text {P (A|B)} = \dfrac{\text {P (B|A) P (A)} }{\text{P (B)}}.
Applichiamo questo teorema al nostro problema. Supponiamo che il giocatore scelga dapprima la porta 1 (il ragionamento sarebbe lo stesso per le altre due porte).
Si ottiene:
P (V1∣C2)=P (C2∣V1) P (V1)P (C2)\text {P } (\text {V}_1 | \text {C}_2)= \dfrac{\text {P } (\text {C}_2 | \text {V}_1) \text { P } (\text {V}_1) } {\text{P } ( \text{C}_2)}
dove P (V1) è la probabilità che l’automobile si trovi dietro la porta 1, P (C2) la probabilità che il conduttore riveli una capra dietro la porta 2 e P (C2 | V1) la probabilità che il conduttore riveli una capra dietro la porta 2 sapendo che l’automobile si trova dietro la porta 1.
La probabilità P (V1) è uguale a 1/3. Infatti, l’automobile si trova con uguale probabilità dietro ciascuna delle tre porte.
P (C2 | V1) è uguale a 1/2. Il conduttore, che sa dove si trova l’automobile, può scegliere di aprire la porta 2 oppure la porta 3, sapendo che dietro la porta 1, scelta dal concorrente, si trova l’automobile.
P (C2 | V2) = 0: se l’automobile è dietro la porta 2, il conduttore non può aprirla.
P (C3 | V3) = 1: se l’automobile si trova dietro la porta 3 e il giocatore ha scelto la porta 1, il conduttore è obbligato a scegliere la porta 2.
Calcoliamo allora:
P (C2)=P (C2∣V1) P (V1)+P (C2∣V2) P (V2)+P (C3∣V3) P (V3)\text {P } (\text {C}_2)= \text {P } (\text {C}_2 | \text {V}_1) \text { P } (\text {V}_1) + \text {P } (\text {C}_2 | \text {V}_2) \text { P } (\text {V}_2) + \text {P } (\text {C}_3 | \text {V}_3) \text { P } (\text {V}_3)
P (C2)=12×13+0×13+1×13=12.\text {P } (\text {C}_2)=\dfrac {1}{2} \times \dfrac{1}{3} +0 \times \dfrac{1}{3} +1 \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{2}.
Da ciò si deduce:
P (V1∣C2)=12×1312=13.\text {P } (\text {V}_1 | \text {C}_2)= \dfrac {\dfrac {1}{2} \times \dfrac {1}{3}} {\dfrac{1}{2} } = \dfrac{1}{3}.
Il concorrente ha dunque circa il 33% di probabilità di vincere se non cambia porta.
Ma se il concorrente cambia porta, la probabilità di vincere sale a circa il 67%:
P (V3∣C2)=P (C2∣V3) P (V3)P (C2)=23.\text {P } (\text {V}_3 | \text {C}_2)= \dfrac{\text {P } (\text {C}_2 | \text {V}_3) \text { P } (\text {V}_3) } {\text{P } ( \text{C}_2)} = \dfrac {2}{3}.
La probabilità di vincere è maggiore quando il concorrente modifica la propria scelta.